[HEOI2015]小Z的房间(矩阵树定理学习笔记)

题目描述

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

题解

其实题目的意思就是让你求这张图的生成树个数。

下面是玄学时间：

我们定义基尔霍夫矩阵为该图的度数矩阵-邻接矩阵。

度数矩阵：a[i][i]为i点的度数，其余位置全部为0。

邻接矩阵：a[i][j]为i到j的边的个数。

然后生成树的个数就是这个矩阵去掉第n行第n列完后的行列式的值。

行列式怎么求。

通过行列式的性质我们可以发现它和高斯消元非常像。

比如说用某行的倍数去减另一行，行列式不变。

某一行乘上某个数，行列式的值也会乘上某个数。

交换两列，行列式取反。

除了最后一条以外，其他的和高斯消元一模一样，所以我们可以直接把它消成上三角矩阵。

然后把对角线元素乘起来就是答案了。

证明？hehe

这里有一个大佬的证明。

细节

这题模数不是质数，需要辗转相除，然后要用一些操作来避免出现/0的操作。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 82
using namespace std;
typedef long long ll;
char s[N][N];
ll a[N][N];
int tot,n,m,id[N][N],lin[N][N];
ll ans;
const int mod=1e9;
const int dx[4]={0,0,1,-1};
const int dy[4]={1,-1,0,0};
inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
inline void MOD(ll &a){a=(a%mod+mod)%mod;}
inline void gauss(int tot){
    ans=1;
    for(int i=1;i<=tot;++i){
       for(int j=i+1;j<=tot;++j){
             while(a[j][i]){
                  ll t=a[i][i]/a[j][i];
               for(int k=i;k<=tot;++k){
                     MOD(a[i][k]-=a[j][k]*t);
                     swap(a[i][k],a[j][k]);
               }
             ans*=-1;    
          }
       }    
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)MOD(ans*=a[i][i]);
}
int main(){
    n=rd();m=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]+1);
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)if(s[i][j]=='.')id[i][j]=++tot;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=1;j<=m;++j)if(s[i][j]=='.'){
          for(int k=0;k<4;++k){
              if(s[i+dx[k]][j+dy[k]]=='.')a[id[i][j]][id[i][j]]++,lin[id[i][j]][id[i+dx[k]][j+dy[k]]]++;
        }
      }
    for(int i=1;i<=tot;++i)for(int j=1;j<=tot;++j)a[i][j]-=lin[i][j];
    gauss(tot-1);
    cout<<ans;
    return 0;
}