bzoj2428[HAOI2006]均分数据

bzoj2428[HAOI2006]均分数据

题意：

已知N个正整数，将它们分成M组，使各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小，求最小均方差。

其中σ为均方差，^-x^-是各组数据和的平均值，x_i为第i组数据的数值和。

题解：

神奇的模拟退火算法！它是爬山算法的加强版。爬山算法是一种贪心算法，对于每个状态，除非随机选出一个后继状态比它好，才会跳过去。但这样有可能“一叶障目不见泰山”，产生错误的答案。但模拟退火不一样，它如果找到一个后继状态比当前状态差，也有一定概率跳过去，但这概率和跳跃次数成反比。这样即使被“一叶障目”，也有机会绕过叶子，找到泰山。

“

关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

　　爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

　　模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

”

这个算法写法实际上是模拟一个物理降温过程，然而对我这种物理渣~~只能背代码框架了QAQ

回到本题，首先给每个数据随机分到一个组，做5000次模拟退火。当温度比较高时跳跃不稳定，所以贪心一下，随机找一个数据，然后把它放进当前和最小的那个组；当温度渐低后，就随机找一个数据然后随机放组。关于退火的次数，网上题解里是10000，我试过1000会不能过，但是5000能过且比10000要快一倍，所以代码给出的是5000。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define inc(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;

int n,m,pos[100]; double a[100],sum[100],ave,mn,T,ans,pre;
void solve(){
     memset(sum,0,sizeof(sum)); inc(i,1,n)pos[i]=rand()%m+1,sum[pos[i]]+=a[i]; ans=0;
     inc(i,1,m)ans+=(sum[i]-ave)*(sum[i]-ave); T=10000;
     while(T>0.1){
         pre=ans; int x=rand()%n+1,y;
         if(T>500)y=min_element(sum+1,sum+1+m)-sum;else y=rand()%m+1; if(pos[x]==y)continue;
         ans-=(sum[pos[x]]-ave)*(sum[pos[x]]-ave); ans+=(sum[pos[x]]-a[x]-ave)*(sum[pos[x]]-a[x]-ave); 
        ans-=(sum[y]-ave)*(sum[y]-ave); ans+=(sum[y]+a[x]-ave)*(sum[y]+a[x]-ave);
         if(rand()%10000+1>T&&ans>pre)ans=pre;else sum[pos[x]]-=a[x],sum[y]+=a[x],pos[x]=y;
         T*=0.9;
     }
     if(ans<mn)mn=ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m); inc(i,1,n)scanf("%lf",&a[i]),ave+=a[i],swap(a[i],a[rand()%i+1]);
    ave/=(double)m; mn=INF; inc(i,1,5000)solve();
    printf("%.2lf",sqrt(mn/(double)m));
}

20160421