• [JZOJ5987] 仙人掌毒题


    Description

    Solution

    套路题...

    全他娘的是套路...

    首先如何处理仙人掌,可以在线拿 (lct) 维护,或者离线之后树剖。((lct) 维护太毒了写不来,就离线树剖了又好写又不用调

    离线树剖的意思就是按加边时间为权值建出一棵最小生成树(或者生成森林),这就是最终的仙人掌的一棵生成树了。

    加边的时候如果这是条树边那就直接加上,如果不是树边,那就在线段树上查一下这个环是否有边被覆盖,只要有一条边被覆盖那就不满足仙人掌性质,那就不能加这条边进去,否则加进去然后线段树区间赋值就好了。

    然后怎么求期望联通块数?

    如果这是个森林的话,期望联通块数=期望点数-期望边数

    那要是个沙漠呢?

    考虑一下森林的这个式子是怎么来的,就是最开始有点数个联通块,然后每加一条边就合并两个联通块,所以是点数-边数。

    那放到仙人掌上,发现每条形成环的非树边都被多减了一次,那再加回来就好了。而成环的非树边就恰好等于仙人掌的环数,因为一条边最多只会出现在一个环里。所以沙漠的期望联通块数=期望点数-期望边数+期望环数。

    然后分开考虑就好了,因为点还有颜色,那我们规定一条边是白的当且仅当两端点都是白色,一个环是白的当且仅当环上的所有点都是白色。黑色同理。

    先算点数。根据期望的线性性,一个点是白色点的概率就是 ((frac{n-1}n)^t),那对期望的贡献就是 (1cdot (frac{n-1}n)^t) ,黑色点拿 (1) 减一下就行了。

    再算边数。一条边是白色边的概率是 ((frac{n-2}n)^t) ,是黑色边的概率容斥一下,就是 (2cdot(1-(frac{n-1}n)^t)-(1-(frac{n-2}n)^t)=1+(frac{n-2}n)^t-2cdot (frac{n-1}n)^t) ,含义画一个Venn图就很清楚了。

    然后是环数,白色环的概率很好算,就是 ((frac{n-len}n)^t),其中 (len) 是环长。那黑色环呢,也是容斥一下,枚举至少有 (j) 个白点,所以 (f(len)=sumlimits_{j=0}^{len} (-1)^j cdot C_{len}^jcdot (frac{n-j}n)^t)

    嗯然后就做完了。

    Code

    #pragma GCC optimize(2)
    #include<bits/stdc++.h>
    using std::swap;
    typedef long long ll;
    #define int long long
    const int N=3e5+5;
    const int mod=998244353;
    
    int n,m,t,w;
    int fac[N],ifac[N];
    int cnt,head[N],is[N];
    int father[N],ques[N][2];
    
    struct Edge{
        int to,nxt;
    }edge[N<<1];
    
    void add(int x,int y){
        edge[++cnt].to=y;
        edge[cnt].nxt=head[x];
        head[x]=cnt;
    }
    
    namespace slpf{
        #define ls x<<1
        #define rs x<<1|1
        #define lss ls,l,mid,ql,qr
        #define rss rs,mid+1,r,ql,qr
        int sze[N],son[N],fa[N];    
        int flag[N<<2],sum[N<<2];
        int tot,dfn[N],top[N],d[N];
    
        void dfs(int now){
            sze[now]=1;
            for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
                int to=edge[i].to;
                if(sze[to]) continue;
                fa[to]=now;d[to]=d[now]+1;
                dfs(to);sze[now]+=sze[to];
                son[now]=sze[to]>sze[son[now]]?to:son[now];
            }
        }
    
        void dfs2(int now,int low){
            dfn[now]=++tot;top[now]=low;
            if(son[now]) dfs2(son[now],low);
            for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
                int to=edge[i].to;
                if(dfn[to]) continue;
                dfs2(to,to);
            }
        }
    
        void pushup(int x){
            sum[x]=sum[ls]|sum[rs];
        }
    
        void pushdown(int x){
            if(!flag[x]) return;
            flag[ls]=flag[rs]=sum[ls]=sum[rs]=1;
            flag[x]=0;
        }
    
        void modify(int x,int l,int r,int ql,int qr){
            if(ql<=l and r<=qr) return flag[x]=sum[x]=1,void();
            pushdown(x);int mid=l+r>>1;
            if(ql<=mid) modify(lss);
            if(mid<qr) modify(rss);
            pushup(x);
        }
    
        int query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
            if(ql<=l and r<=qr) return sum[x];
            pushdown(x);int mid=l+r>>1,ans=0;
            if(ql<=mid) ans|=query(lss);
            if(mid<qr) ans|=query(rss);
            return ans;
        }
    
        int ask(int x,int y){
            int ans=0;
            while(top[x]!=top[y]){
                if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
                ans|=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
                x=fa[top[x]];
            } if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
            if(x!=y) ans|=query(1,1,n,dfn[y]+1,dfn[x]);
            return ans;
        }
    
        int change(int x,int y){
            while(top[x]!=top[y]){
                if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
                modify(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
                x=fa[top[x]];
            } if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
            if(x!=y) modify(1,1,n,dfn[y]+1,dfn[x]);
            return y;
        }
    }
    
    int ksm(int a,int b=mod-2,int ans=1){
        while(b){
            if(b&1) ans=ans*a%mod;
            a=a*a%mod; b>>=1;
        } return ans;
    }
    
    int getint(){
        int X=0,w=0;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
        while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
        if(w) return -X;return X;
    }
    
    int find(int x){
        return father[x]==x?x:father[x]=find(father[x]);
    }
    
    int dec(int x,const int &y){
        return x-y<0?x-y+mod:x-y;
    }
    
    int C(int n,int m){
        return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
    }
    
    signed main(){
        freopen("cactus.in","r",stdin);freopen("cactus.out","w",stdout);
        gi(n),gi(m),gi(t),gi(w);
        fac[0]=ifac[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        ifac[n]=ksm(fac[n]);
        for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
        for(int i=1;i<=n;i++) father[i]=i;
        int invn=ksm(ksm(n),t),baid=ksm(n-1,t)*invn%mod,baib=ksm(n-2,t)*invn%mod,heib=(baib-baid*2%mod+1+mod)%mod;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            gi(ques[i][0]),gi(ques[i][1]);
            int r1=find(ques[i][0]),r2=find(ques[i][1]);
            if(r1!=r2) father[r1]=r2,is[i]=1,add(ques[i][0],ques[i][1]),add(ques[i][1],ques[i][0]);
        } for(int i=1;i<=n;i++) if(!slpf::dfn[i]) slpf::d[i]=1,slpf::dfs(i),slpf::dfs2(i,i);
        int ans=(w==1?n:baid*n%mod);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(is[i]){
                ans=dec(ans,baib);
                if(w==1) ans=dec(ans,heib);
            } else{
                if(!slpf::ask(ques[i][0],ques[i][1])){
                    int z=slpf::change(ques[i][0],ques[i][1]);
                    ans=dec(ans,baib);
                    if(w==1) ans=dec(ans,heib);
                    int len=slpf::d[ques[i][0]]+slpf::d[ques[i][1]]-slpf::d[z]*2+1;
                    (ans+=ksm(n-len,t)*invn%mod)%=mod;
                    if(w==1){
                        int res=0;
                        for(int j=0;j<=len;j++)
                            (res+=(j&1?mod-C(len,j):C(len,j))*ksm(n-j,t)%mod*invn%mod)%=mod;
                        (ans+=res)%=mod;
                    }
                }
            } print(ans),putc('
    ');
        } return io::flush(),0;
    }
    
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