BZOJ3251: 树上三角形

给定一大小为n的有点权树，每次询问一对点(u,v)，问是否能在u到v的简单路径上取三个点权，以这三个权值为边长构成一个三角形。

同时还支持单点修改。

第一行两个整数n、q表示树的点数和操作数

第二行n个整数表示n个点的点权

以下n-1行，每行2个整数a、b，表示a是b的父亲（以1为根的情况下）

以下q行，每行3个整数t、a、b

若t=0，则询问(a,b)

若t=1，则将点a的点权修改为b

n,q<=100000，点权范围[1,2^31-1]

对每个询问输出一行表示答案，“Y”表示有解，“N”表示无解。

5 5
1 2 3 4 5
1 2
2 3
3 4
1 5
0 1 3
0 4 5
1 1 4
0 2 5
0 2 3

N
Y
Y
N

题解Here!

首先容易想到一个暴力算法：

若询问是x，y，求出LCA(x,y)，暴力将这条链中所有的点权存入数组，排个序，暴力扫一遍。

也就是这样：

bool solve(int x,int y){
	int lca=LCA(x,y);
	int top=0,num[100010];
	num[++top]=val[lca];
	for(int i=x;i!=lca;i=fa[i])num[++top]=val[i];
	for(int i=y;i!=lca;i=fa[i])num[++top]=val[i];
	sort(num+1,num+top+1);
	if(top<3)return false;
	for(int i=3;i<=top;i++)if(num[i]<num[i-1]+num[i-2])return true;
	return false;
}

但是不用想就知道肯定TLE。。。

怎么办？

我们注意到点权是2³¹以内的数，而判断条件是两边之和大于第三边。

两边之和大于第三边！

跟某一个式子很像：f[i]=f[i-1]+f[i-2]

这是什么？斐波那契数列！

在2³¹以内，数列的最大项只达到了50项。

也就是说：超过50项，一定存在3个数可以组成三角形！

所以，我们在函数头部添加一句：

if(deep[x]+deep[y]-2*deep[lca]>=50)return true;

即可。

注意：由于点权是2³¹以内，所以要将判断组成三角形的式子移个项，不然会爆int。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m,c=1;
int val[MAXN],head[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN],top[MAXN];
struct node{
	int next,to;
}a[MAXN<<1];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline void add(int x,int y){
	a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
	a[c].to=x;a[c].next=head[y];head[y]=c++;
}
void dfs1(int rt){
	son[rt]=0;size[rt]=1;
	for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
		int will=a[i].to;
		if(!deep[will]){
			deep[will]=deep[rt]+1;
			fa[will]=rt;
			dfs1(will);
			size[rt]+=size[will];
			if(size[son[rt]]<size[will])son[rt]=will;
		}
	}
}
void dfs2(int rt,int f){
	top[rt]=f;
	if(son[rt])dfs2(son[rt],f);
	for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
		int will=a[i].to;
		if(will!=fa[rt]&&will!=son[rt])
		dfs2(will,will);
	}
}
int LCA(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
	return x;
}
bool solve(int x,int y){
	int lca=LCA(x,y);
	if(deep[x]+deep[y]-2*deep[lca]>=50)return true;
	int top=0,num[55];
	num[++top]=val[lca];
	for(int i=x;i!=lca;i=fa[i])num[++top]=val[i];
	for(int i=y;i!=lca;i=fa[i])num[++top]=val[i];
	sort(num+1,num+top+1);
	if(top<3)return false;
	for(int i=3;i<=top;i++)if(num[i]-num[i-1]<num[i-2])return true;
	return false;
}
void work(){
	int f,x,y;
	while(m--){
		f=read();x=read();y=read();
		if(f==0){
			if(solve(x,y))printf("Y
");
			else printf("N
");
		}
		if(f==1)val[x]=y;
	}
}
void init(){
	int x,y;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		x=read();y=read();
		add(x,y);
	}
	deep[1]=1;
	dfs1(1);
	dfs2(1,1);
}
int main(){
	init();
	work();
	return 0;
}

BZOJ3251: 树上三角形

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output