单调性与极值的判别
单调性的判别
- 若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加
- 若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加
费马引理（极值点的必要条件）
- 一阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不一定是极值，如y=x3）
- 设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0
判别极值的第一充分条件（左右邻域一阶导异号）
- 极值点不一定是可导点
- 左邻域内，f'(x)<0，而右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极小值
- 左邻域内，f'(x)>0，而右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极大值
- 若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点
判别极值的第二充分条件（一阶导数=0，二阶导数≠0）
- 设f(x)在x=x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0
- 若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极大值
- 若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极小值
- 可以用一阶导数定义和保号性证明
判别极值的第三充分条件（高阶导）
- f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)
- f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0
- 若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值
- 若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值
拉格朗日中值定理推广（联系函数与导函数）
- f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)
- f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)