[JSOI2015]非诚勿扰

Description

【故事背景】
JYY赶上了互联网创业的大潮，为非常勿扰开发了最新的手机App实现单身
大龄青年之间的“速配”。然而随着用户数量的增长，JYY发现现有速配的算法似
乎很难满足大家的要求，因此JYY决定请你来调查一下其中的原因。
【问题描述】
应用的后台一共有N个女性和M个男性，他们每个人都希望能够找到自己的
合适伴侣。为了方便，每个男性都被编上了1到N之间的一个号码，并且任意两
个人的号码不一样。每个女性也被如此编号。
JYY应用的最大特点是赋予女性较高的选择权，让每个女性指定自己的“如
意郎君列表”。每个女性的如意郎君列表都是所有男性的一个子集，并且可能为
空。如果列表非空，她们会在其中选择一个男性作为自己最终接受的对象。
JYY用如下算法来为每个女性速配最终接受的男性：将“如意郎君列表”中的
男性按照编号从小到大的顺序呈现给她。对于每次呈现，她将独立地以P的概率
接受这个男性（换言之，会以1−P的概率拒绝这个男性）。如果她选择了拒绝，
App就会呈现列表中下一个男性，以此类推。如果列表中所有的男性都已经呈现，
那么中介所会重新按照列表的顺序来呈现这些男性，直到她接受了某个男性为止。
显然，在这种规则下，每个女性只能选择接受一个男性，而一个男性可能被多个
女性所接受。当然，也可能有部分男性不被任何一个女性接受。
这样，每个女性就有了自己接受的男性（“如意郎君列表”为空的除外）。现
在考虑任意两个不同的、如意郎君列表非空的女性a和b，如果a的编号比b的编
号小，而a选择的男性的编号比b选择的编号大，那么女性a和女性b就叫做一对
不稳定因素。
由于每个女性选择的男性是有一定的随机性的，所以不稳定因素的数目也是
有一定随机性的。JYY希望你能够求得不稳定因素的期望个数（即平均数目），
从而进一步研究为什么速配算法不能满足大家的需求。

Input

输入第一行包含2个自然数N,M，表示有N个女性和N个男性，以及所有女
性的“如意郎君列表”长度之和是M。
接下来一行一个实数P，为女性接受男性的概率。
接下来M行，每行包含两个整数a,b，表示男性b在女性a的“如意郎君列表”
中。
输入保证每个女性的“如意郎君列表”中的男性出现切仅出现一次。
1≤N,M≤500,000，0.4≤P<0.6

Output

输出1行，包含一个实数，四舍五入后保留到小数点后2位，表示不稳定因素的期望数目。

Sample Input

5 5
0.5
5 1
3 2
2 2
2 1
3 1

Sample Output

0.89

假设第i个女性，匹配第j个男性，总共有k个可以匹配

p(i,j)=(1-p)^j-1*p+(1-p)^k*(1-p)^j-1*p+......

套用等比求和：

S=A(1-qⁿ)/(1-q)

因为n为无穷大，所以qⁿ≈0

所以S≈A/(1-q)

这里A=(1-p)^j-1*p，q=(1-p)^k

求出每条匹配边的概率，然后倒序处理

从后往前处理一个女性i，枚举指向v边，查w(i,v)*(i+1~n,1~v-1)的概率和

显然可以树状数组，先查询比v小的概率和，再把每条边的概率插入

复杂度O(mlogn)

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 struct ZYYS
 8 {
 9   int u,v;
10   double d;
11 }e[500001];
12 struct Node
13 {
14   int next,to;
15   double dis;
16 }edge[500001];
17 double ans,p,c[500001];
18 int num,head[500001],n,m,du[500001],l[500001];
19 bool cmp(ZYYS a,ZYYS b)
20 {
21   if (a.u==b.u) return a.v<b.v;
22   return a.u>b.u;
23 }
24 double qpow(double x,int y)
25 {
26   double res=1.0;
27   while (y)
28     {
29       if (y&1) res=res*x;
30       x=x*x;
31       y/=2;
32     }
33   return res;
34 }
35 void add(int u,int v,double d)
36 {
37   num++;
38   edge[num].next=head[u];
39   head[u]=num;
40   edge[num].to=v;
41   edge[num].dis=d;
42 }
43 void update(int x,double d)
44 {
45   while (x<=n)
46     {
47       c[x]+=d;
48       x+=(x&(-x));
49     }
50 }
51 double query(int x)
52 {
53   double s=0;
54   while (x)
55     {
56       s+=c[x];
57       x-=(x&(-x));
58     }
59   return s;
60 }
61 int main()
62 {int i,u,v,j;
63   cin>>n>>m;
64   cin>>p;
65   for (i=1;i<=m;i++)
66     {
67       scanf("%d%d",&u,&v);
68       e[i].u=u;e[i].v=v;
69       du[u]++;
70     }
71   sort(e+1,e+m+1,cmp);
72   for (i=1;i<=m;i++)
73     {
74       l[e[i].u]++;
75       e[i].d=qpow(1-p,l[e[i].u]-1)*p;
76       e[i].d/=1-qpow(1-p,du[e[i].u]);
77       add(e[i].u,e[i].v,e[i].d);
78     }
79   for (i=n;i>=1;i--)
80     {
81       for (j=head[i];j;j=edge[j].next)
82     {
83       int v=edge[j].to;
84       ans+=edge[j].dis*query(v-1);
85     }
86       for (j=head[i];j;j=edge[j].next)
87     {
88       int v=edge[j].to;
89       update(v,edge[j].dis);
90     }
91     }
92   printf("%.2lf
",ans);
93 }