• [AH/HNOI2017]单旋

    题目描述

    H国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了H国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着他的邪恶的“常数”来企图毁灭H国。“卡”给H国的人洗脑说，splay如果写成单旋的，将会更快。“卡”称“单旋splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有H国的人相信了，小H就是其中之一，spaly马上成为他的信仰。而H国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由m（不超过10^5）个操作构成，他知道这样的数据肯定打垮spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作

    所需要的实际代价的任务就交给你啦。数据中的操作分为5种：

    1. 插入操作：向当前非空spaly中插入一个关键码为key的新孤立节点。插入方法为，先让key和根比较，如果key比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key比当前子树根x小，而x的左子树为空，那就让key成为x的左孩子；或者key比当前子树根x大，而x的右子树为空，那就让key成为x的右孩子。该操作的代价为：插入后，key的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对spaly的描述。）

    2. 单旋最小值:将spaly中关键码最小的元素xmin单旋到根。操作代价为：单旋前xmin的深度。（对于单旋操作的解释见末尾对spaly的描述。）

    3. 单旋最大值:将spaly中关键码最大的元素xmax单旋到根。操作代价为：单旋前xmax的深度。

    4. 单旋删除最小值：先执行2号操作，然后把根删除。由于2号操作之后，根没有左子树，所以直接切断根和右子树的联系即可。（具体见样例解释）。操作代价同2号操作。

    5. 单旋删除最大值：先执行3号操作，然后把根删除。操作代价同3号操作。

    对于不是H国的人，你可能需要了解一些spaly的知识，才能完成国王的任务：

    1. spaly是一棵二叉树，满足对于任意一个节点x，它如果有左孩子lx，那么lx的关键码小于x的关键码。如果有右孩子rx，那么rx的关键码大于x的关键码。

    2. 一个节点在spaly的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。

    3. 单旋操作是对于一棵树上的节点x来说的。一开始，设f为x在树上的父亲。如果x为f的左孩子，那么执行zig(x)操作（如上图中，左边的树经过zig(x)变为了右边的树）,否则执行zag(x)操作（在上图中，将右边的树经过zag(f)就变成了左边的树）。每当执行一次zig(x)或者zag(x),x的深度减小1，如此反复，直到x为根。总之，单旋x就是通过反复执行zig和zag将x变为根。

    输入输出格式

    输入格式：

    输入文件名为 splay.in。

    第一行单独一个正整数 m (1 <= m <= 10^5)。

    接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c（ 1<=c<=5），既问题描述中给出的 5 种操作中的编号，若 c= 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。

    输出格式：

    输出文件名为 splay.out。

    输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。

    输入输出样例

    输入样例#1：
    5
1 2
1 1
1 3
4 
5
    输出样例#1：
    1 
2 
2
2 
2

    说明

    20%的数据满足： 1 <= m <= 1000。

    另外 30%的数据满足： 不存在 4,5 操作。

    100%的数据满足： 1<=m<=10^5； 1<=key<=10^9。 所有出现的关键码互不相同。 任何一个非插入操作，一定保证树非空。 在未执行任何操作之前，树为空。

    这道题的关键之处在于：除了插入以外，只操作最大/最小值

    所以每次旋转只有一个固定方向，对树的影响其实不大。

    以旋转最小值为例，除了最小值的右子树，其他节点深度+1，如果删去的话

    因为它作为根节点，没有左子树，所以直接删去，所有点深度-1。如果不删，最小点深度为1

    对与插入，节点的深度是当前spaly中比它小中最大的、比它大的中最小的，两个节点深度更大值+1

    用线段树维护深度，线段树中，每个叶节点表示第i大的值得深度信息，显然这需要离线

    cnt[rt]表示区间内有多少个点加入了树

    mark[rt]区间加的延迟标记

    mi[rt]当前区间最小的加入了树的节点的深度

    mx[rt]当前区间最大的加入了树的节点的深度

    t[rt]表示该区间存在的最小深度，未加入树的空节点不算

    这样我们维护这个信息

    对于mi，只要存在左节点就赋值，否则就赋值右节点，mx同理

    查找小于插入值的最大节点的话，当线段树的右端点为插入节点的大小时

    mx[rt]显然就是小于插入值的最大节点的深度(大于的最小值同理，用mi就行了)

    对于找到最小值(深度为d)的右子树，用一个find函数，找到q为最小值的父亲

    这样找到的右子树肯定是一个连续区间，所以(其他节点深度+1)=>([q,n]+1)

    如何找到，如果左节点的最小深度大于d或为空，显然找右节点，否则找左节点

    这样可以找到深度刚好小于最小值且大于最小值的节点q

    似乎和正常的splay一样，还要加入最大值和最小值，也就是线段树中0和n+1

    这题代码略长，有3.6KB，调了一天

      1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cmath>
  6 using namespace std;
  7 struct Ask
  8 {
  9     int x,id;
 10 }A[1000001];
 11 const int N=100005,M=400005;
 12 int m,n,a[N],opt[N],now,mi[M],mx[M],cnt[M],t[M],mark[M],dep;
 13 bool cmp(Ask a,Ask b)
 14 {
 15     return a.x<b.x;
 16 }
 17 int gi()
 18 {
 19     char ch=getchar();
 20     int x=0;
 21     while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
 22     while (ch>='0'&&ch<='9') 
 23     {
 24         x=x*10+ch-'0';
 25         ch=getchar();
 26     }
 27     return x;
 28 }
 29 void pushdown(int rt)
 30 {
 31     if (mark[rt])
 32     {
 33         if (cnt[rt*2])
 34         {
 35             t[rt*2]+=mark[rt];
 36             mi[rt*2]+=mark[rt];
 37             mx[rt*2]+=mark[rt];
 38             mark[rt*2]+=mark[rt];
 39         }
 40         if (cnt[rt*2+1])
 41         {
 42             t[rt*2+1]+=mark[rt];
 43             mi[rt*2+1]+=mark[rt];
 44             mx[rt*2+1]+=mark[rt];
 45             mark[rt*2+1]+=mark[rt];
 46         }
 47         mark[rt]=0;
 48     }
 49 }
 50 void pushup(int rt)
 51 {
 52     if (cnt[rt*2+1]) mx[rt]=mx[rt*2+1];
 53     else mx[rt]=mx[rt*2];
 54     if (cnt[rt*2]) mi[rt]=mi[rt*2];
 55     else mi[rt]=mi[rt*2+1];
 56     t[rt]=min(t[rt*2],t[rt*2+1]);
 57     cnt[rt]=cnt[rt*2]+cnt[rt*2+1]; 
 58 }
 59 int get1(int rt,int l,int r,int v)
 60 {
 61     if (v==r)
 62     {
 63         return mx[rt];
 64     }
 65     pushdown(rt); 
 66     int mid=(l+r)/2;
 67     if (v<=mid) return get1(rt*2,l,mid,v);
 68     int x=get1(rt*2+1,mid+1,r,v);
 69     if (x>0) return x;
 70     return mx[rt*2];
 71 }
 72 int get2(int rt,int l,int r,int v)
 73 {
 74     if (v==l)
 75     {
 76         return mi[rt];
 77     }
 78     pushdown(rt); 
 79     int mid=(l+r)/2;
 80     if (v>mid) return get2(rt*2+1,mid+1,r,v);
 81     int x=get2(rt*2,l,mid,v);
 82     if (x>0) return x;
 83     return mi[rt*2+1];
 84 }
 85 void insert(int rt,int l,int r,int d,int v)
 86 {
 87     if (l==r)
 88     {
 89         t[rt]=mi[rt]=mx[rt]=d;
 90         cnt[rt]=1;
 91         return;
 92     }
 93     pushdown(rt); 
 94     int mid=(l+r)/2;
 95     if (v<=mid) insert(rt*2,l,mid,d,v);
 96     else insert(rt*2+1,mid+1,r,d,v);
 97     pushup(rt);
 98 }
 99 int getmin(int rt,int l,int r)
100 {
101     if (l==r)
102     {
103         dep=t[rt];
104         return l;
105     }
106     pushdown(rt);
107     int mid=(l+r)/2;
108     if (cnt[rt*2]>0) return getmin(rt*2,l,mid);
109     else return getmin(rt*2+1,mid+1,r);
110 }
111 int getmax(int rt,int l,int r)
112 {
113     if (l==r)
114     {
115         dep=t[rt];
116         return l;
117     }
118     pushdown(rt);
119     int mid=(l+r)/2;
120     if (cnt[rt*2+1]>0) return getmax(rt*2+1,mid+1,r);
121     else return getmax(rt*2,l,mid);
122 }
123 int find1(int rt,int l,int r,int d)
124 {
125     if (l==r)
126         return l;
127     pushdown(rt);
128     int mid=(l+r)/2;
129     if (cnt[rt*2]==0||t[rt*2]>d) return find1(rt*2+1,mid+1,r,d);
130     else return find1(rt*2,l,mid,d); 
131 }
132 int find2(int rt,int l,int r,int d)
133 {
134     if (l==r)
135         return l;
136     pushdown(rt);
137     int mid=(l+r)/2;
138     if (cnt[rt*2+1]==0||t[rt*2+1]>d) return find2(rt*2,l,mid,d);
139     else return find2(rt*2+1,mid+1,r,d); 
140 }
141 void change(int rt,int l,int r,int L,int R,int x)
142 {
143     if (!cnt[rt]) return;
144     if (l>=L&&r<=R)
145     {
146         mark[rt]+=x;
147         t[rt]+=x;
148         mx[rt]+=x;mi[rt]+=x;
149         return;
150     }
151     pushdown(rt);
152     int mid=(l+r)/2;
153     if (L<=mid) change(rt*2,l,mid,L,R,x);
154     if (R>mid) change(rt*2+1,mid+1,r,L,R,x);
155 pushup(rt);
156 }
157 void Delet(int rt,int l,int r,int v)
158 {
159     if (l==r)
160     {
161         t[rt]=n;
162         mx[rt]=mi[rt]=cnt[rt]=0;
163         return;
164     }
165     pushdown(rt);
166     int mid=(l+r)/2;
167     if (v<=mid) Delet(rt*2,l,mid,v);
168     else Delet(rt*2+1,mid+1,r,v);
169     pushup(rt);
170 }
171 int main()
172 {int i;
173  cin>>m;
174  for (i=1;i<=m;i++)
175  {
176      opt[i]=gi();
177      if (opt[i]==1)
178      {
179          A[++n].x=gi();
180          A[n].id=n;
181      }
182  }
183  sort(A+1,A+n+1,cmp);
184  for (i=1;i<=n;i++) a[A[i].id]=i;
185  n++;
186  now=0;
187  memset(t,127,sizeof(t));
188  for (i=1;i<=m;i++)
189  {
190      if (opt[i]==1)
191      {
192          now++;
193          insert(1,0,n,dep=max(get1(1,0,n,a[now]),get2(1,0,n,a[now]))+1,a[now]);
194      }
195      else if (opt[i]==2||opt[i]==4)
196      {
197          int p=getmin(1,0,n),q;
198          Delet(1,0,n,p);
199          q=find1(1,0,n,dep);
200          change(1,0,n,q,n,1);
201          if (opt[i]==4)
202          change(1,0,n,0,n,-1);
203          else insert(1,0,n,1,p);
204      }
205      else if (opt[i]==3||opt[i]==5)
206      {
207          int p=getmax(1,0,n),q;
208          Delet(1,0,n,p);
209          q=find2(1,0,n,dep);
210         change(1,0,n,0,q,1);
211         if (opt[i]==5)
212             change(1,0,n,0,n,-1);
213         else insert(1,0,n,1,p);
214      }
215      printf("%d
",dep); 
216  }
217 }
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