[六省联考2017]分手是祝愿（期望+DP）

题解

很容易想出来最优策略是什么。

就是从n到1看到开着的灯就把它关了

我们预处理出当前状态把灯全部关闭后的最少步数cnt

然后我们的主人公就要瞎按。。。

设dp[i]代表当前状态最优解为i步时走到dp[i-1]用过步数的期望。

现在我们考虑如何转移到dp[i]

当我们这一步走到当前最优策略的一步时。

dp[i]=i/n*1

当我们这一步没有走到当前最优策略的一步时。

dp[i]=(n-i)/n*(dp[i+1]+1+dp[i])

所以 dp[i]=i/n+(n-i)/n*(dp[i+1]+1+dp[i])

化简一下 dp[i]=(n+(n-i)*dp[i+1])/i;

这样求出dp后答案就是dp[1]+dp[2]+...+dp[cnt]

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const long long N=1000100;
const long long mod=100003;
vector<long long>vec[N];
long long n,k,inv[N],a[N],cnt,dp[N],ans;
long long read(){
    long long sum=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(f=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch<='9'&&ch>='0'){
        sum=(sum<<1)+(sum<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return sum;
}
int main(){
    n=read();k=read();
//    scanf("%d%d",&n,&k); 
    inv[1]=1;
    for(long long i=2;i<=n;i++){
        inv[i]=-(mod/i)*inv[mod%i];
        inv[i]=(inv[i]%mod+mod)%mod;
    }
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        for(long long j=i;j<=n;j+=i){
            vec[j].push_back(i);
        }
    for(long long i=1;i<=n;i++){
    //    scanf("%d",&a[i]);
        a[i]=read();
    }
    for(long long i=n;i>=1;i--){
        if(a[i]){
            for(long long j=0;j<=vec[i].size()-1;j++){
                a[vec[i][j]]^=1;
            }
            cnt++;
        }
    }
    dp[n]=1;
    for(long long i=n-1;i>k;i--){
        dp[i]=(n+(n-i)*dp[i+1])%mod*inv[i]%mod;
    }
    for(long long i=k;i>=1;i--)dp[i]=1;
    for(long long i=1;i<=cnt;i++){
        ans+=dp[i];
        ans%=mod;
    }
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        ans*=i;
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}