//洛谷P1436 (模板)
我们定义映射f(ai)=i,那么两个排列可以转换为(f(a1),f(a2),...,f(an))=(1,2,...,n)和(f(b1),f(b2),...,f(bn)),我们进行这样的转换之后,就把本题转换为求最长上升子序列的长度的题目了。
最长上升子序列存在O(N log N)时间复杂度的算法,概述如下:
考虑两个数a[x]和a[y],若x<y且g[x]==g[y],那么在转移的过程中,选择a[x]更有潜力(证明是显而易见的,可以自己设计几组数据加深理解),可以获得最优的值,所以当g数组的值一样时,应选择最小的数。
按照g[i]==k分类,记录g[i]==k的所有i的最小值,g有两个特点:
1)f[i]在计算过程中单调不升
2)f数组是有序的,g[i]<=g[i+1]
根据这些性质,可以方便地求解:
1)设当前求出的LIS(最长上升子序列的简称,以后同此)长度为ans(初始值为1),当前元素为a[x]
2)如果a[x]>g[ans],直接加入f数组的末尾,且ans++;否则在f数组中二分查找,找到第一个比a[x]小的数字g[k](使用二分查找实现),g[k+1]=a[x],这样做保证a[x]<=g[k+1](根据性质1,2)
3)最后的ans即为答案
代码如下:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=100010; int n,a[maxn],f[maxn],g[maxn],ans=1,cur; inline int bs(int k,int l,int r){ while(l<r){ int mid=(l+r)>>1; if(k>=g[mid])l=mid+1; else r=mid; } return l; } //二分查找 bs(k,l,r)表示在[l,r]中寻找比k大的最小的数 int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a),f[a[0]]=i; //建立映射关系 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",a+i),a[i]=f[a[i]];//输入并同时处理映射 g[1]=a[0]; //dp初始化 for(int i=1;i<n;i++){ if(g[ans]<a[i])cur=++ans; else cur=bs(a[i],1,ans+1); g[cur]=a[i]; }//dp处理,并记录ans printf("%d",ans); return 0; }