普通容斥
[igcup_{i = 1} ^ n A_i = sum_{k = 1} ^ n (-1)^{k + 1} egin{pmatrix} sumlimits_{1 leq i_1 < i_2< ... <i_k leq n} |A_{i_1} cap ... A_{i_k}|end{pmatrix}
]
Min - Max 容斥
[max { S } = sum_{T subseteq S} (-1)^{|T| + 1} min{T}
]
[min { S } = sum_{T subseteq S} (-1)^{|T| + 1} max{T}
]
- 证明
考虑 (T) 中的每一个元素 (A_i) 将它看成一个集合
[A_i = {1,2, 3,...,a_n} (a_n = A_i)
]
这样
[min{T} = A_1 cap... cap A_{|T|}
]
[max{S} = A_1 cup A_2 cup ... cup A_{|S|}
]
[max{S} = igcup_{i = 1} ^ n A_i
]
[= egin{pmatrix} sumlimits_{1 leq i_1 < i_2< ... <i_k leq n} |A_{i_1} cap ... A_{i_k}|end{pmatrix}
]
[= sum_{T subseteq S} (-1)^{|T| + 1} min{T}
]
第二个式子就是把所有数取负
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