lcm理解

LCM

最小公倍数，求得方式为

[(a*b)/gcd(a, b) ]

从本质上看，是由(a)的全部质因子最高位和(b)的全部质因子并起来的结果

(a = p _{a}^{k1} p _{b}^{k2} p _{c}^{k3})

(b = p _{a}^{k4} p _{b}^{k5} p _{d}^{k6})

(lcm(a, b) = p _{a}^{max(k1, k4)}p _{b}^{max(k2, k5)} p _{c}^{k3}p _{d}^{k6})

这个本质可以用到下题
Finding LCM LightOJ - 1215
这是VJ链接
题意是给出(a), (b), (lcm(a, b, c))求最小的(c)是多少

1. 很显然(lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c))然后问题就转化成了(lcm(a, x))求(x)
2. 给出了(LCM)，并且(LCM)一定都是由(a)和(x)的全部质因子的最高次幂组成的，所以一定是可以从(a)下手，找到(a)中所有质因子，看看(a)中质因子的最高次幂是否可以充当(LCM)中的最高次幂，如果可以，那么就可以用这个质因子的最高次幂来充当(LCM)，呐如果(LCM)中对于此质因子有更高次幂，只能用另一个数来进行充当了，即我们所求的数，如果我们想让我们所求的数最小，那就只让我们要求的这个数获得他必须获得的(LCM)中质因子最高次幂，而(LCM)中其他的质因子都可以由另一个已知的数凑成，那么就没必要用这个数来凑了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return (b?gcd(b, a%b):a);}
ll Lcm(ll a, ll b) {return a * b / (__gcd(a, b));}
int main() 
{
    ll a, b, L;
    int cas = 0;
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> a >> b >> L;
        a = Lcm(a, b);
        cout << "Case " << ++cas << ": ";
        if (L % a != 0) {
            cout << "impossible
";
        } else {
            ll ans = 1;
            for (int i = 2; i <= a; i++) {
                ll x = 1;
                while (a % i == 0){
                    a /= i;
                    x *= i;
                }
                if (L/x%i==0) {
                    ans *= x;
                }
                L/=x;
            }
            ans *= L;
            cout << ans << endl;
        }
    }
}