1.任取黑白混杂的棋子21个,排成3行7列,证明无论怎样排列,都可以找到一个小长方形矩阵，使四个角上的棋子的颜色相同。
三行七列，每一列至少有两个颜色相同，六种情况：12同白，12同黑，13同白，13同黑，23同白，23同黑。六种情况、七列，必然有至少两列情况相同，故得到解，鸽笼原理，记得小时候书上管这叫抽屉原理来着。
2.从2n个连续整数中任取n+1个，证明：这n+1个数中必有两个互质。
按顺序两两分组，分成n组，每组中的k,k+1必互质，再次利用鸽笼原理，必有一组中的两个数同时被选中，两数互质，证毕。
3.8*8的棋盘，可以用32个多米诺骨牌（1*2的矩形）恰好覆盖。若去掉左上角和右下角的格子，证明用31块骨牌不能覆盖余下的棋盘。
将棋盘的行用i=1…8标记，列用j=1…8标记，则棋盘上的格子可按i+j是奇数还是偶数分成两类，各32个，且相间出现，即每个第一类格子的四周都是第二类格子，每个第二类格子的四周都是第一类格子。左上角和右下角的格子是同类格子，因此去掉后两类格子分别剩下30个和32个，而一个骨牌只能覆盖一块1*2区域，且该区域内必有两类格子各一个，故不能用31个骨牌将余下的棋盘恰好覆盖。
4.“门票问题”——2n个人排队购票入场，其中n个人手拿50元钞票，n个人手拿100元钞票，门票价格为50元，售票处没有任何零钱，问有多少种排队方式能顺利让2n个人都购票入场？n个0和n个1共2n个数进行排列，要求从头遍历到任何位置时0的个数都不小于1个个数，问有多少种排列方式？
答案为卡特兰数C(2n,n)-C(2n,n-1)=C(2n,n)/(n+1)，证明如下：不考虑是否符合题目要求，n个0和n个1的排列方式为C(2n,n)，再考虑不符合条件的排列方式有多少，减去即可。考虑每种不符合条件的排列，必存在一个奇数位置2m+1，在该处之前出现了m+1个1和m个0，该位置之后的2(n-m)-1个数中出现n-m个0和n-m-1个1，将后面这部分的0和1互换（0变成1，1变成0），这样每个不符合条件的序列都对应一个由n+1个1和n-1个0组成的2n长的序列；反过来，任何一个由n+1个1和n-1个0组成的2n长的序列，都能找到一个奇数位置2m+1使得从头至此有m+1个1和m个0，将后面的部分0和1互换，这样每个由n+1个1和n-1个0组成的2n长序列都对应一个不符合条件的序列。因此证明了不符合条件的序列个数为C(2n,n-1)，故符合条件的序列个数为C(2n,n)-C(2n,n-1) = C(2n,n)/(n+1)。
5.“方程的解”问题——已知一个方程x1+x2+…+xn=P，其中x1>=a1,x2>=a2,…xn>=an，并且(a1+a2+…+an)<=P。问共有多少组解？
首先很容易分析出，问题等同于找到x1+x2+…+xn=P’，其中P’=P-(a1+a2+…+an)，x1>=0,x2>=0,…xn>=0。
这个问题有个异常强大的思路：写一个由P’个1和n-1个0组成的序列，令xi等于第i-1个0和第i个0之间1的个数，且x0等于第一个0之前1的个数，xn等于第n-1个0后面的1个个数，这样每个P’个1和n-1个0组成的序列和每个方程的解就是一一对应的了。所以解的组数是C(P’+n-1,n-1)。