ST算法:
ID数组下标: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ID数组元素: 5 7 3 1 4 8 2 9 8
1、ST算法作用:
主要应用于求区间最值上,可以把所需要求的区间极大的压缩,并且查询的复杂度为O(1)。比如我们要求一段区间上的最大值,就算是用DP的思想去做,用DP[i][j]表示从i到j区间的最大值,如果需要保存数据元素N比较多的时候,比如N=10000的时候,你开个二维数组肯定超内存,如果你用线段树做的,或许能行得通,不过如果N在更大的时候N=100000,估计线段树每次查询的复杂度为O(log n),询问比较多的时候也容易卡掉。这时候ST算法就派上用场啦~
2、ST算法的主要保存形式是F[i][k]:
表示的是从n点为起点,长度为2^k的区间最值等价于ID[i][i+2^k-1]的区间大小,当k越大的时候,所代表的区间也越大。需要注意的一点是,区间长度都是2^k去表示的!!!
3、F[i][k]的预处理:
同样在区间最值求解上,用动态规划的思想去求的每一区间F[i][k]的最值。
当k=0的时候,区间则表示的变成一个点,也就是i位置上的值。所以DP的初始值也就是F[i][0]=ID[i]。
然后,动态规划最重要的就算状态转移方程了,以最大值为例子,也就是
F[i][j]=max(F[i][j-1],F[i+2^(j-1)][j-1]);
说下这个状态转移方程的由来,我们每次求的是F[i][j],也就是ID[]数组所表示的区间[i,i+2^j-1]:
F[i][j]=>ID[i~i+2^j-1]:
[i.........................................................................................................................i+2^j-1]
把这个区间二等分,也就是[i,i+2^j-1]=[i,i+2^(j-1)-1]+[i+2^(j-1),i+2^j-1],也就是F[i][j]是由F[i][j-1]和F[i+2^(j-1)][j-1]组成的,这很容易理解,也就是说,每次从二分的子区间中取最值赋值给当前的区间。从而把所有的区间的最值就这样保存下来、
二等分=>[i,i+2^j-1]=[i,i+2^(j-1)-1]+[i+2^(j-1),i+2^j-1]=>F[i][j-1]和F[i+2^(j-1)][j-1]
[i.........................................................................................................................i+2^j-1]
||
[i............................................i+2^(j-1)-1][i+2^(j-1) .....................................i+2^j-1]
4、求解区间[a,b]的最值
然而,我们需要求的是区间[a,b],并不是这样[i,2^k],这样的区间,求这个F[i][k]表示区间有什么用呢?当然是有用的啦。我们把区间[a,b]转换一下,不就可以了吗、
我们可以知道区间[a,b]的区间长度为b-a+1,如果你想把区间长度转换成两个2^k,然后求解两个区间的最值,你就想错了,那是不可能的,除非你能够证明任意数N=2^k+2^k,k存在整数解,然后这很明显是错误的,比如N=11就无整数解了的。ST算法的查询只有O(1),他是通过求解区间长度最大的2^k的值,也就是找出一个k,使得2^k<=b-a+1,然后通过比较区间[a,a+2^k-1]和[b-2^k+1,b]取最值实现的,这里的a+2^k-1并不一定会等于b-2^k+1,而且一般情况下都是大于的情况、
[a...................................................................b]
[a....................... (a+2^k-1)]
[(b-2^k+1)....................b]
求解这两个区间的最值也就是求解区间[a,b]最值了的。
首先我们要先求出K,计算方法就是:
2^k=b-a+1
=>k=log2(b-a+1)
=>k=lg(b-a+1) /lg(2)
=>k=(int)(log(b-a+1.0)/log(2.0));
(PS:C中的lg的计算是用log表示Orz,Orz,Orz........)
5,一些证明:
求解出的k表示的是长度b-a+1表示成2的N次方,最大能够表示的N,一定会使得:2^k<=b-a+1.
证明:2^k>=(b-a+1)/2。
假设求的的k是最大的次方,如果2^k小于区间长度(b-a+1)的一半,
则说明区间(b-a+1)的长度大于2个2^k,2^k+2^k=2^(k+1),
也就是说这段区间(b-a+1)中还存在n=k+1使得2^n > 2^k,与假设不符,
所以,2^k>=(b-a+1)/2恒成立、
代码:(2015.8.14)
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <math.h> 4 #define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b) 5 #define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b) 6 #define MAX 100010 7 using namespace std; 8 int maxsum[MAX][20]; 9 int minsum[MAX][20]; 10 int Num[MAX]; 11 void Cread_ST(int N) //预处理->O(nlogn) 12 { 13 for(int i=1;i<=N;i++)maxsum[i][0]=minsum[i][0]=Num[i]; 14 int Len=(int)(log(N)/log(2.0)); 15 for(int j = 1; j <=Len; j++){ 16 for(int i = 1;i+(1<<j)-1<= N; i++){ 17 int TMD=i+(1<<(j-1)); 18 maxsum[i][j]=max(maxsum[i][j-1],maxsum[TMD][j-1]); 19 minsum[i][j]=min(minsum[i][j-1],minsum[TMD][j-1]); 20 } 21 } 22 } 23 int RMQ(int l,int r) 24 { 25 int k,TMD,Max,Min; 26 k=(int)(log(r-l+1.0)/log(2.0)); 27 TMD=r-(1<<k)+1; 28 Max=max(maxsum[l][k],maxsum[TMD][k]); 29 Min=min(minsum[l][k],minsum[TMD][k]); 30 return Max-Min; 31 } 32 int main() 33 { 34 int N,i,Q,a,b,k,Max,Min; 35 while( scanf("%d%d",&N,&Q)!=EOF) 36 { 37 for(i=1;i<=N;i++) 38 scanf("%d",&Num[i]); 39 Cread_ST(N); 40 while(Q--) 41 { 42 scanf("%d %d",&a,&b); 43 printf("%d ",RMQ(a,b)); 44 } 45 } 46 return 0; 47 }
************************************** * 作者: Wurq * 博客: http://www.cppblog.com/wurq/ * 日期: 2017/8/16 **************************************