关于动态规划(Dynamic Programming)

Dynamic Programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions.
 

• 将复杂的原问题拆解成若干个简单的子问题
• 每个子问题仅仅解决1次，并保存它们的解 
• 最后推导出原问题的解 

可以用动态规划来解决的问题，通常具备2个特点

1、最优子结构(最优化原理)：通过求解子问题的最优解，可以获得原问题的最优解

2、无后效性

• 某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响(未来与过去无关)
• 在推导后面阶段的状态时，只关心前面阶段的具体状态值，不关心这个状态是怎么一步步推导出来的 

 
练习：连续子数组的最大和

 

一开始的思绪：

看到这个题目的时候，不知道动态规划的时候，就开始去思考怎么解，总是会胡思乱想，然后没法细致的去拆解问题，从而没有一个着力点。

 
动态规划的解题思路
 

1.状态定义
假设 dp(i) 是以 nums[i] 结尾的最大连续子序列和(nums是整个序列)

dp是对(Dynamic Programming)简写
以 nums[0] –2 结尾的最大连续子序列是 –2，所以 dp(0) = –2

以 nums[1] 1 结尾的最大连续子序列是 1，所以 dp(1) = 1

以 nums[2] –3 结尾的最大连续子序列是 1、–3，所以 dp(2) = dp(1) + (–3) = –2

以 nums[3] 4 结尾的最大连续子序列是 4，所以 dp(3) = 4

以 nums[4] –1 结尾的最大连续子序列是 4、–1，所以 dp(4) = dp(3) + (–1) = 3

以 nums[5] 2 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2，所以 dp(5) = dp(4) + 2 = 5

以 nums[6] 1 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1，所以 dp(6) = dp(5) + 1 = 6

以 nums[7] –5 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1、–5，所以 dp(7) = dp(6) + (–5) = 1 

以 nums[8] 4 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1、–5、4，所以 dp(8) = dp(7) + 4 = 5 

2.状态转移方程
如果 dp(i – 1) ≤ 0，那么 dp(i) = nums[i]

如果 dp(i – 1) > 0，那么 dp(i) = dp(i – 1) + nums[i] 

3.设定初始状态和确定最终的解
初始状态
dp(0) 的值是 nums[0] 

最终的解
最大连续子序列和是所有 dp(i) 中的最大值 max { dp(i) }，i ∈ [0, nums.length) 

总结：整个核心就在状态转移方程
本题的状态转移方程就很清晰，如果dp(i-1)是负数那么dp(i)就不要和之前的连续数组合在一起。如果是正数，那就合在一起。因为每一步都是最优解，所以结果就是max { dp(i) }。

 
代码实现

func maxSubarray(nums: [Int]) -> Int {
        if nums.count  == 0  { return 0 }
        var dp = [Int](repeating: nums[0], count: nums.count)
        var maxValue = dp[0]
        for (i, value) in nums.enumerated() {
            if i >= 1 {
                let prev = dp[i - 1]
                if prev > 0 {
                    dp[i] = dp[i-1] + value
                } else {
                    dp[i] = value
                }
            }
            maxValue = max(maxValue, dp[i])
        }
        
        return maxValue
    }

上面这个算法的时间复杂度是O(n), 空间复杂度也是O(n)。因为记录了每一个dp(i)

 func maxSubArray(_ nums: [Int]) -> Int {
        if nums.count  == 0  { return 0 }
        var maxValue = nums[0]
        var dp = nums[0]
        for i in 1..<nums.count {
            if dp > 0 {
                dp = dp + nums[i]
            } else {
                dp = nums[i]
            }
            maxValue = max(maxValue, dp)
        }
        return maxValue
    }

这个算法的时间复杂度是O(n), 空间复杂度也是O(1)。因为本题不需要记录之前的值，对上面一个算法的优化。

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