纪中第十七天

　　今天是我来到纪中的第十七天

　　今天听了一个讲座

　　讲的内容呢-是数论

　　什么gcd exgcd 高斯消元 ex卢卡斯 卢卡斯.....

　　以前学过了，今天作为一个巩固

　　可是我10点四十五（也就是现在）就回来了。。。

　　GCD即Greatest Common Divisor，最大公约数。最大公约数即能同时整除给定两个整数的最大正整数。特殊地：gcd（a，0）=a。求解最大公约数通常使用辗转相除法。下面是辗转相除法的代码实现：

　　

typedef long long LL;
LL gcd(LL a, LL b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

　　

辗转相除法得到的余数序列增长速度比斐波那契数列更快，已知斐波那契的增长是指数级别，则辗转相除法的复杂度是对数级别。

辗转相除法的证明：

1.设两个数a、b（a＞b），他们的最大公约数为gcd（a，b），r = a % b，k = （a - a % b）/ b，那么证明辗转相除法，即是要证明：gcd（a，b）=gcd（b，r）。首先我们令c = gcd（a，b），那么肯定存在互质的整数m，n，使得a = mc，b = nc。那么有r = a - kb = mc - knc = (m - kn)c，根据这条式子，c也是r的因数。回过头看，如果能证明m-kn和n互质，那么就可以说明c=gcd（（m-kn）c，nc）=gcd（b，r），所以把问题再次转化为：求证m-kn和n互质。

2.反证法证明m-kn和n互质：假设m-kn和n不互质，用数学语言描述为：假设存在整数x，y，d，其中d＞1，使得m-kn=xd，n=yd。那么有m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，从而a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则gcd（a，b）=cd≠c，与前设矛盾。故m-kn和n互质得证，也就证明了gcd（a，b）=gcd（b，r）。

　　

EXGCD

贝祖定理（Bezouts Identity）：若设a,b是不全为0的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则肯定存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)。这个式子称为贝祖等式。

EXtend GCD 即扩展欧几里得算法，它可以用于解关于x，y的贝祖等式。

EXGCD的可行性

当a=0时，ax+by=gcd（a，b）=gcd（0，b）=b，这时可以解出y=1而x为任意。同理可得b=0时，解得x=1而y为任意。当a，b都不为0时：

　　a或b为0即迭代求解的出口，迭代过程用代码表示如下：

　　

typedef long long LL;
// ver 1
// 返回值为gcd（a，b），x和y即求出的特解
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    LL ans = exgcd(b, a % b, x, y);
    //这里通过迭代求出了一组解x，y，这组解对应上面推导过程中的x2和y2。
    LL temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return ans;
}

// ver 2
// 在熟悉了推导过程之后，我们可以利用引用的性质得到更为简洁的ver2写法
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    LL ans = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}