题解-SHOI2005 树的双中心

SHOI2005 树的双中心

给树 (T=(V,E)(|V|=n))，树高为 (h)，(w_u(uin V))。求 (xin V,yin V:left(sum_{uin V}w_ucdot min(dis_{u,x},dis_{u,y}) ight)_{min})。

数据范围：(1le nle 50000)，(1le hle 100)。

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一眼思路：把 (T) 由一条边砍成 (T_1,T_2)，(x) 为 (T_1) 重心，(y) 为 (T_2) 重心。

所以可以暴力枚举那条断边，然后找两棵树重心，合并答案。

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先问个问题：一棵带点权的树怎么找重心？

即 洛谷P1364 医院设置。

带点权树的重心 (x) 满足 (f_x=sum_{uin V}w_ucdot dis_{u,x}) 最小。

暂定 (1) 为根，记录 (sz_i) 表示节点 (i) 的子树的权值 (w) 和。

所以 (f_1=sum_{uin V}w_ucdot (dep_u-dep_1))。

[vin son_u:f_v=f_u+(sz_1-sz_v)-sz_v ]

这是换根 ( t dp)。“重心”往下挪，上面的节点要多走一步，下面的节点少走一步。

然后 (f_i) 最小的 (i) 就是重心。

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这题也用到了类似的思想：

令 (g_i=sum_{uin subtree_i}w_ucdot dis_{u,i})，很明显上文的 (f_1=g_1)。

[ herefore g_u=sum_{vin son_u}g_v+sz_v ]

很明显吧，每个子节点答案加再走一条边的贡献。

令 (sf_i) 为 (i) 的子树最大子节点，(sc_i) 为 (i) 的子树次大子节点。

设断边为 ((a,b))，其中 (dep_b>dep_a)。

同样令 (1) 为根，同样维护 (sz_i)。

所以 (T_1) 的根为 (1)，(T_2) 的根为 (b)。

(Theta(h)) 让 (sz_i) 变为 (T_1,T_2) 内的子树权值和：

(forall pin ancestor_b:sz_p-=sz_b)

设 (now_1=sum_{uin V_1}w_ucdot dis_{u,1}=g_1-g_b-sz_b(dep_b-dep_1),now_2=sum_{uin V_2}w_ucdot dis_{u,b}=g_b)

(T_1,T_2) 中的节点 (i) 子树最大子节点必为原 (sf_i,sc_i) 中的一个。

再看看上面的式子：

[vin son_u:f_v=f_u+(sz_{rt}-sz_v)-sz_v ]

所以 (f_v<f_u) 当 (sz_{rt}<2sz_v)。

可以从各自的根节点出发，摸着最大子树子节点找 (T_1,T_2) 的重心，答案可以由上面的 (now) 递推。

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时间复杂度 (Theta(nh))。

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• 代码

上面的内容看不懂就算了，读读这代码吧。。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=5e4;
int n,w[N+7];
vector<int> e[N+7];

//TreeDP
int dep[N+7],sz[N+7],fa[N+7],f[N+7],sf[N+7],sc[N+7];
void Dfs1(int u){
	sz[u]=w[u],dep[u]=dep[fa[u]]+1;
	for(int&v:e[u])if(v!=fa[u]){
		fa[v]=u,Dfs1(v),sz[u]+=sz[v],f[u]+=f[v]+sz[v]; //f就是g
		if(sz[v]>sz[sf[u]]) sc[u]=sf[u],sf[u]=v;
		else if(sz[v]>sz[sc[u]]) sc[u]=v;
	}
}
int cut;
void Dfs2(int u,int now,int sm,int&res){
	res=min(res,now);
	int v=(sf[u]==cut||sz[sc[u]]>sz[sf[u]])?sc[u]:sf[u]; //v为u最大子树子节点
	if(v&&2*sz[v]>sm) Dfs2(v,now+sm-2*sz[v],sm,res);
}
void Dfs3(int u,int&res){
	for(int&v:e[u])if(v!=fa[u]){
		cut=v;
		int up=inf,down=inf;
		for(int p=u;p;p=fa[p]) sz[p]-=sz[v];
		Dfs2(1,f[1]-f[v]-(dep[v]-dep[1])*sz[v],sz[1],up);
		Dfs2(v,f[v],sz[v],down);
		res=min(res,up+down);
		for(int p=u;p;p=fa[p]) sz[p]+=sz[v]; //回溯
		Dfs3(v,res);
	}
}

//Main
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++) scanf("%d%d",&u,&v),e[u].pb(v),e[v].pb(u);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
	int ans=inf; Dfs1(1),Dfs3(1,ans),printf("%d
",ans);
	return 0;
} 

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祝大家学习愉快！