题解-CF677D Vanya and Treasure

CF677D Vanya and Treasure

有一个 (n imes m) 的矩阵 (a(1le a_{i,j}le p))，求从起点 ((1,1)) 出发依次遍历值为 (1 o p) 的矩阵单元的最短路径曼哈顿距离。保证满足 (a_{i,j}=p) 的 ((i,j)) 唯一。

数据范围：(1le n,mle 300)，(1le ple ncdot m)。

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先记录 ( t vector) 数组 (w)，(w_t) 表示 (a_{i,j}=t) 的位置集合。

(w_t) 的每个元素有三个属性：(x,y,g)。(x) 和 (y) 是位置坐标，(g) 是出发遍历矩阵值 (1 o t) 后到 ((x,y)) 的最短路径长度。

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暴力做法：从 (w_{i-1}) 的所有 (g) 值递推 (w_i) 的所有 (g) 值：

[u.g=min_{vin w_{i-1}}{v.g+{ m abs}(u.x-v.x)+{ m abs}(u.y-v.y)}(uin w_i) ]

时间复杂度 (Thetaleft(sum_{iin[2,p]}|w_{i-1}|cdot |w_i| ight)leTheta(n^2m^2))。

• 怎么卡到 (Theta(n^2m^2)) 的？

比如 (n=300,m=300,p=2)，矩阵一半是 (1) 一半是 (2)。

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这题的优化是真的巧，反正我比赛时没想到。

考虑以下情况：

[forall iin[2,p]:|w_{i-1}|cdot|w_i|le ncdot m ]

总的时间复杂度是：

[Thetaleft(sum_{iin[2,p]}|w_{i-1}|cdot |w_i| ight) ]

同时满足 (sum_{i=1}^p |w_i|=ncdot m)，根据柯西不等式：

[egin{split} &left(sum_{i=2}^p|w_{i-1}|cdot |w_i| ight)^2\ le&sum_{i=1}^{p-1}|w_i|^2sum_{i=2}^{p}|w_i|^2\ le&left(sum_{i=1}^{p}|w_i|^2 ight)^2\ le&left(sqrt{ncdot m} imesleft(sqrt{ncdot m} ight)^2 ight)^2 end{split} ]

所以 (sum_{i=2}^p|w_{i-1}|cdot |w_i|le ncdot m imessqrt{ncdot m})。

复杂为 (Theta(ncdot msqrt{ncdot m})) 可以通过。

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但是如果 (exists iin[2,p]:|w_{i-1}|cdot|w_i|>ncdot m) 怎么办呢？

可以套个 (Theta(V)) 的多源无向无权图最短路模板 ( t Bfs)。

所以此时单次递推的时间复杂度也是 (Theta(ncdot m))。

这样的单次递推与 (|w_{i-1}|cdot|w_i|=ncdot m) 相比：

1. 一次递推时间复杂度相等。

2. 由于对于这个 (i) 的 (|w_{i-1}|cdot|w_i|) 大，所以对于其他 (i) 的 (|w_{i-1}|cdot|w_i|) 较小。所以总时间复杂度小。

所以这样优化后总时间复杂度 (le Theta(ncdot msqrt{ncdot m}))。可以通过。

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• 代码：

//Data
const int N=3e2;
int n,m,k,a[N+7][N+7];
struct node{
	int x,y,g;
	node(int X=0,int Y=0,int G=0){x=X,y=Y,g=G;}
};
vector<node> w[N*N+7];

//Bfs
int d[N+7][N+7];
int tx[]={0,0,-1,1},ty[]={-1,1,0,0};
int ok(int x,int y){return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m;}
void Bfs(vector<node>&s){ //多源无向无权图最短路模板 Bfs。
	vector<node> q;
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) d[i][j]=inf;
	int sc=-1;
	q.pb(s[++sc]);
	for(int i=0;i<sz(q);i++){
		node v=q[i];
		while(sc+1<sz(s)&&s[sc+1].g<=v.g) q.pb(s[++sc]);
		for(int t=0;t<4;t++){
			node u=node(v.x+tx[t],v.y+ty[t]);
			if(ok(u.x,u.y)&&v.g+1<d[u.x][u.y]) d[u.x][u.y]=u.g=v.g+1,q.pb(u);
		}
	}
}

//Main
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
			if(a[i][j]==1) w[a[i][j]].pb(node(i,j,i+j-2));
			else w[a[i][j]].pb(node(i,j,inf));
		}
	for(int key=2;key<=k;key++){
		if(sz(w[key-1])*sz(w[key])<=n*m){
			for(node&u:w[key]) for(node v:w[key-1])
				u.g=min(u.g,v.g+abs(u.x-v.x)+abs(u.y-v.y));
		} else {
			vector<node> s;
			for(node v:w[key-1]) s.pb(v);
			Bfs(s);
			for(node&u:w[key]) u.g=d[u.x][u.y];
		}
	}
	printf("%d
",w[k][0].g);
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！