• 马尔可夫信源


    在很多信源的输出序列中,符号之间的依赖关系是有限的,任何时刻信源符号发生的概率只与前面已经发出的若干个符号有关,而与更前面的符号无关

    马尔可夫信源满足的两个条件

    1. 某一时刻信源输出的符号的概率只与当前所处的状态有关,而与以前的状态无关

      [P(x_l=a_k|s_l=E_i,x_{l-1}=a_{k1},s_{l-1}=E_j,cdots)=P(x_ll=a_k|s_l=E_i) ]

      当符号输出概率与时刻L与福安。称具有时齐性

      [P(x_l=a_k|s_l=E_i)=P(a_k|E_i),sum_{a_kepsilon A}P(a_k|E_i)=1 ]

    2. 信源的下一个状态由当前状态和下一刻的输出唯一地确定

    [信源处于某一状态E_i,当他发出一个符号后,所处的状态就变了,一定转移到另一状态。状态的转移依赖于信源符号。 ]

    m阶马尔科夫信源

    [m阶马尔可夫信源符号集共有q个符号,则信源共有q^m个不同的状态。信源在某一的时刻,必然处于某一状态,等到下一个字符输出时,转移到另外一个状态。 ]

    马尔可夫信源熵

    [定义Q(E_i)为各状态的极限概率,则时齐、遍历的马尔可夫信源熵为 H_{infty}=sum_{i=1}^J Q(E_i)H(X|E_i) =sum_{i=1}^J sum_{k=1}^q Q(E_i)P(a_k|E_i) log P(a_k|E_i) ]

    [H_{infty}=H(X_{x+1}|X_1X_2X_3 cdots X-m) 表明m阶马尔可夫信源熵的极限熵等于m阶条件熵。 根据条件熵公式还可以得到: H_{infty}=H_{m+1}= -sum_{i=1}^{q^m} sum_{j=1}^{q^m}p(e_i)p(e_i|e_j) log p(e_j|e_i) ]

    离散信源上的总结

    实际信源可能是非平稳的有记忆随机序列信源;其极限熵是不存在的;解决的方法是假设其为离散平稳随机序列信源,极限熵存在,但求解困难;

    • 进一步假设其为m阶马尔可夫信源,用其m阶条件熵近似;
    • 再进一步假设为一阶马尔可夫信源,用其一阶条件熵来近似;
    • 最简化的信源是离散无记忆信源,其熵为H(X);
    • 最后可以假定为等概的离散无记忆信源,其熵为log q

    [他们之间的关系可以表示为 log q=H_0(X)geq H_1(X)geq H_{l+1}(X)geq cdots geq H_{m+1}(X) geq H_{infty}(X) ]

    熵的相对率

    [eta =frac{H_{infty}}{H_0} ]

    [H_0=log q ]

    信源剩余度

    [gamma =1- eta =1-frac{H_{infty}}{H_0} ]

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