POJ1904 King's Quest（完备匹配可行边：强连通分量）

题目大概就是说给一张二分图以及它的一个完备匹配，现在问X部的各个点可以与Y部那些些点匹配，使得X部其余点都能找到完备匹配。

枚举然后匹配，当然不行，会超时。

这题的解法是，在二分图基础上建一个有向图：原二分图中边(x,y)连<x,y>的弧，对于那个已知的匹配中的所有边(x,y)连<y,x>的弧，然后对于X部各个点x如果它到Y部的y点有直接的边且它们在同一个强连通分量，那么x就能和y匹配。

我对这个解法的理解是这样的，类似于匈牙利算法的增广路：

• 如果x和y就属于给定的那个完备匹配那它们本来就在强连通分量上；
• 否则，就在原匹配的基础上在构造的有向图上走，看能否找到一条“增广路”（其实不是增广路）去修正，看能否使得x匹配的点改成y——

x走向y，这条边必定不属于原匹配，那么这条边加入匹配集合

y走向x1，这条边必定属于原匹配，那么这条边从匹配集合中删去

x1走向y1，这条边必定不属于原匹配，那么这条边加入匹配集合

…… …… ……

最后如果就存在一个yn走能向x，这条边必定属于原匹配，删去；而删除这条边后，就没有和最开头加入匹配集合的那条(x,y)的边存在公共点的边了，(x,y)就是一个合法的匹配

感觉这解法很巧。而这二分图上的边最大独立集，性质挺多的，感觉也挺难运用这些性质。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 4444
#define MAXM 2222*2222

struct Edge{
    int v,next;
}edge[MAXM];
int NE,head[MAXN];
void addEdge(int u,int v){
    edge[NE].v=v; edge[NE].next=head[u];
    head[u]=NE++;
}

int top,stack[MAXN];
bool instack[MAXN];
int dn,dfn[MAXN],low[MAXN];
int bn,belong[MAXN];
void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++dn;
    stack[++top]=u; instack[u]=1;
    for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(dfn[v]==0){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(instack[v]){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(low[u]==dfn[u]){
        int v; ++bn;
        do{
            v=stack[top--];
            instack[v]=0;
            belong[v]=bn;
        }while(u!=v);
    }
}

int main(){
    int n,a,b;
    while(~scanf("%d",&n)){
        NE=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1; i<=n; ++i){
            scanf("%d",&a);
            while(a--){
                scanf("%d",&b);
                addEdge(i,b+n);
            }
        }
        for(int i=1; i<=n; ++i){
            scanf("%d",&a);
            addEdge(a+n,i);
        }
        top=dn=bn=0;
        memset(dfn,0,sizeof(dfn));
        memset(instack,0,sizeof(instack));
        for(int i=1; i<=2*n; ++i){
            if(dfn[i]==0){
                tarjan(i);
            }
        }
        for(int u=1; u<=n; ++u){
            int cnt=0;
            bool vis[MAXN]={0};
            for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
                int v=edge[i].v;
                if(belong[u]==belong[v]){
                    ++cnt;
                    vis[v-n]=1;
                }
            }
            printf("%d",cnt);
            for(int i=1; i<=n; ++i){
                if(vis[i]){
                    printf(" %d",i);
                }
            }
            putchar('
');
        }
    }
    return 0;
}