题意
有一个 (w imes h) 的棋盘,有 (c) 种颜色的棋子,第 (i) 种棋子有 (a_i) 个。他想把棋子全部摆到棋盘上,使得每个格子上至多有 (1) 个棋子,并且同一行同一列不能有两个不同的棋子
请求出有多少种放旗子的方案取模 (10^9+7)
解法
好神的 DP 啊,给我一辈子我都想不出来
设第 (i) 种棋子分布在了 (x) 行,(y) 列,那么这些行列一定不会有其他颜色的棋子出现
我们把这 (x) 行,(y) 列移动到矩形的边界(相当于抽出来放到一边),新问题就是原问题的一个子问题:颜色种数减少了 (1),行数减少了 (x),列数减少了 (y)
设 (g_{i,j,k}) 为第 (i) 种颜色的棋子分布在 (j) 行,(k) 列的方案数,这个可以容斥求出
(g_{i,j,k}) 的初值为 (i imes j choose a_k),也就是在交叉点随意选取的方案数。显然这样会有一些行和列为空,考虑把这一部分不合法的方案容斥掉,即 (g_{i,j,k}-sum g_{i,u,v} (uleq j,vleq k))
求出 (g) 之后就可以 DP 了,显然一种种添加某个颜色是 DP 的最好方式
设 (f_{i,j,k}) 为第 (i) 种颜色分布在 (j) 行,(k) 列的方案数,那么
[f_{i,j,k}=f_{i-1,j-u,k-v} imes g_{a_i,u,v} imes{jchoose u} imes {kchoose v}
]
时间复杂度 (O(N^5))
代码
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 50;
const int mod = 1e9 + 7;
int N, M, K;
int a[MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N][MAX_N], g[MAX_N][MAX_N][MAX_N], C[MAX_N * MAX_N][MAX_N * MAX_N];
inline void inc(int& x, int y) { (x += y) >= mod ? x -= mod : 0; }
void get_C() {
for (int i = 0; i <= N * M; ++i) {
C[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; ++j) inc(C[i][j], C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]);
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);
for (int i = 1; i <= K; ++i) scanf("%d", a + i);
get_C();
for (int c = 1; c <= K; ++c)
for (int i = 1; i <= N; ++i)
for (int j = 1; j <= M; ++j) {
g[c][i][j] = C[i * j][a[c]];
for (int u = 0; u <= i; ++u)
for (int v = 0; v <= j; ++v)
if (u + v)
inc(g[c][i][j], mod - 1LL * C[i][u] * C[j][v] % mod * g[c][i - u][j - v] % mod);
}
for (int i = 0; i <= N; ++i)
for (int j = 0; j <= M; ++j) f[0][i][j] = 1;
for (int c = 1; c <= K; ++c)
for (int i = 1; i <= N; ++i)
for (int j = 1; j <= M; ++j)
for (int u = 0; u <= i; ++u)
for (int v = 0; v <= j; ++v)
if (u + v)
inc(f[c][i][j], 1LL * f[c - 1][i - u][j - v] * C[i][u] % mod * C[j][v] % mod * g[c][u][v] % mod);
printf("%d
", f[K][N][M]);
return 0;
}