• 8.29 最后一英里


    题意

    给一颗根为(1)的有根树,树上每个点的权值为(w_i),大小为(a_i)

    (q)个询问,给出两个参数(x,s)

    询问在以(x)为根的子树中,选出若干个点,这些点的大小之和不超过(s),并最大化权值之和


    解法

    一个明显的(O(NS^2))的树形背包暴力

    (f[x][k])为以(x)为根的子树中大小和小于(k)的结点的最大权值和,转移也很显然

    我们可以发现对于一个点(x),它的状态是由所有子节点的状态合并转移过来的

    于是可以考虑启发式合并的小(trick)

    把整棵树进行轻重链剖分,对于一个节点,先把它重儿子的状态复制上去,对于轻儿子暴力转移:具体来说,就是把轻儿子为根的子树中的每个节点视作一个物品,背包即可

    有两种证明复杂度是(O(NSlogN))的方法:

    第一种:

    考虑启发式合并时,每次合并以后子树大小至少变为原来的两倍,所以每个节点最多被合并(logN)次。合并单个节点的复杂度是(O(S))的,所以总复杂度为(O (NSlogN))

    第二种:

    考虑轻重链剖分的性质,对于任意一个节点,其到根节点的路径上有(logN)级别个轻路径,因此每个节点最多被合并(logN)次。所以复杂度得证

    记住对于这类题目的模型:

    树上的问题,状态由子节点状态合并转移而来,可以考虑轻重链剖分启发式合并,重儿子状态直接继承,轻儿子状态暴力转移


    代码

    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <cstring>
    
    using namespace std;
    
    int read();
    
    const int N = 4e5 + 10;
    
    int n, q;
    int w[N], a[N];
    
    int cap;
    int head[N], to[N << 1], nxt[N << 1];
    
    int sz[N], son[N];
    
    long long f[5010][5010];
    
    inline void add(int x, int y) {
    	to[++cap] = y, nxt[cap] = head[x], head[x] = cap;
    	to[++cap] = x, nxt[cap] = head[y], head[y] = cap;	
    }
    
    inline long long max(long long x, long long y) {
    	return x > y ? x : y;	
    }
    
    void DFS3(int x, int fa, long long *f) {
    	for (int i = 5000; i >= a[x]; --i)	f[i] = max(f[i], f[i - a[x]] + w[x]);
    	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
    		if (to[i] == fa)	continue;
    		DFS3(to[i], x, f);
    	}
    }
    
    void DFS2(int x, int fa) {
    	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
    		if (to[i] == fa)	continue;
    		DFS2(to[i], x);	
    	}
    	memcpy(f[x], f[son[x]], sizeof f[son[x]]);
    	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
    		if (to[i] == fa || to[i] == son[x])	continue;
    		DFS3(to[i], x, f[x]);	
    	}
    	for (int i = 5000; i >= a[x]; --i)	f[x][i] = max(f[x][i], f[x][i - a[x]] + w[x]);
    }
    
    void DFS(int x, int fa) {
    	sz[x]++;	
    	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
    		if (to[i] == fa)	continue;
    		DFS(to[i], x);
    		sz[x] += sz[to[i]];
    		if (sz[to[i]] > sz[son[x]])	son[x] = to[i];
    	}
    }
    
    int main() {
    
    	n = read();
    	
    	int u, v;
    	for (int i = 1; i < n; ++i) {
    		u = read(), v = read();
    		add(u, v);	
    	}
    	
    	for (int i = 1; i <= n; ++i)
    		scanf("%d%d", w + i, a + i);
    	
    	DFS(1, 0);
    	DFS2(1, 0);
    	
    	q = read();
    	while (q--) {
    		u = read(), v = read();
    		printf("%lld
    ", f[u][v]);		
    	}
    	
    	return 0;
    }
    
    int read() {
    	int x = 0, c = getchar();
    	while (!isdigit(c))	c = getchar();
    	while (isdigit(c))	x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    	return x;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/VeniVidiVici/p/11431497.html
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