牛客网2017校招真题在线编程之合唱团问题——动态规划问题首秀

先贴题目

题目描述

有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？

输入描述:

每个输入包含 1 个测试用例。每个测试数据的第一行包含一个整数 n (1 <= n <= 50)，表示学生的个数，接下来的一行，包含 n 个整数，按顺序表示每个学生的能力值 ai（-50 <= ai <= 50）。接下来的一行包含两个整数，k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。

输出描述:

输出一行表示最大的乘积。

示例1

输入

3
7 4 7
2 50

输出

49

动态规划之我见：（适合小白，因为我就是小白，这是我做的第一个动态规划问题，查了很多资料，理解了很久，非小白可跳过）

（1）首先，动态规划问题要求具有最优子结构，也就是说规模为n的问题的最优解，可以由规模为n-1（和/或更小规模）的子问题递推得到，其中子问题也是具有这种最优子结构的。因此动态规划问题得到的是全局最优解而不是局部最优解。
（2）其次，从上面可以看到，动态规划最重要的是最优子结构，也就是这个递推表达式，找到这个递推表达式，后面就是编程实现的事情了。这个递推表达式有个学名叫做状态转移方程。
插一条：既然叫做状态转移方程，总得有“状态”吧，不然哪里的转移呢？我理解的“状态”，也就是“问题”！对，就是要求解的问题，只不过是一种表达而已，比如说合唱团问题中，n个人中找出k个人，使得能量值乘积最大，这就是我们所谓的状态，我们暂且把这个状态记作dp[n,k]，
这里dp是dynamic planning的缩写啦，“圈内人”都这么叫的哈哈哈。“状态”，在我们解决问题的时候往往是一维数组或者二维数组（这完全是自己的理解啦，没在哪本看到谁这么说过），究竟是一维数组还是二维数组，要根据具体问题具体分析，比如合唱团问题里的状态就是一个
二维数组。还有一点就是，找状态的时候，先不要管约束条件，约束条件在最后寻找状态转移方程的时候满足其要求即可。
（3）终于可以说第三点啦，有了状态，接下里就是找状态转移方程啦。也就是规模为n的问题怎样由规模为n-1（和/或更小规模）的子问题递推得到，找到这个递推关系式，找这个递推关系式方法也得具体问题具体分析，这一点可以参考上一篇博客（https://www.cnblogs.com/VanJing/p/9325158.html），
里面介绍了几个动态规划的例子，仔细研读必有收获。

总之，找准“状态”，找对“状态转移方程”是解决动态规划类问题的重点。


合唱团题目相关：
1.题目分析   Ps.参考牛客网讨论
题目要求n个学生中选择k个，使这k个学生的能力值乘积最大。这是一个最优化的问题。另外，在优化过程中，提出了相邻两个学生的位置编号差不超过d的约束。
如果不用递归或者动态规划，问题很难入手，并且，限制条件d也需要对每一个进行约束，编程十分复杂。

2.贴程序（Python3.5.2实现）
别看程序就这么几行，但是不好理解。。。。

#/user/bin/python
#coding = utf-8
n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))
K, D = map(int, input().split())

fm = [[0] * n for _ in range(K)]
fn = [[0] * n for _ in range(K)]
res = 0

for i in range(n):
    fm[0][i] = arr[i]
    fn[0][i] = arr[i]

for i in range(n):
    for k in range(1,K):
        for j in range(i-1, max(0, i-D)-1, - 1):
            fm[k][i] = max(fm[k][i],max(fm[k-1][j] * arr[i], fn[k-1][j] * arr[i]))
            fn[k][i] = min(fn[k][i],min(fm[k-1][j] * arr[i], fn[k-1][j] * arr[i]))
    res = max(res, fm[K-1][i])
    
print(res)
            
            

2. 问题分析：
从n个学生中，选择k个，根据“动态规划之我见”部分，这里状态定义为f[n][k],为了和后面分析以及程序一致，将状态写成f[k][n]

因为能量值arr有正有负，最后要找能量值乘积的最大值，我们知道负负得正，所以要维护两个dp数组，一个存储最大，一个存储最小。
定义fm[k][i]表示当选中了k个学生，并且以第i个学生为结尾，所产生的最大乘积；
fn[k][i]表示当选中了k个学生，并且以第i个学生为结尾，所产生的最小乘积；
所以fm[k=1..K][i=1..n]，fn[k=1..K][i=1..n]为K*n的数组，程序6~7行就是初始化这两个数组。
再分析一下fm和fn。其意义不是很好理解，具体可以在纸上画出一个K行n列的表格出来，第一行，表示从n个人（假设为1...n，其能量值为arr[1]...arr[n]）中1个人，那么最大的能量值乘积自然是选中的这个人的能量值，因此无论是fm还是fn，第一行的值就是arr[i]，
这也就是程序11~13行干的事情。

fm[k][i]表示第k个人选中arr[i]时能量乘积最大值，fn同理。（理解这一点非常非常重要）
再看状态转移方程。状态转移方程，也就是子问题的求解。从n个学生中，选择k个，可以看成是：先从n个学生里选择第k个（假设arr[i]），然后在剩下的里（arr[i]的左边部分）选择k-1个，并且让第k个和前k-1个满足约束条件。根据上一行，第k个人选中arr[i]表示为fm[k][i], 
剩下k-1个人选中arr[j]表示为fm[k-1][j]，（这里j需要满足约束条件，稍后再讨论）。如果arr[i]为正，则最大的能量值乘积为arr[i]*fm[k-1][j]；如果arr[i]为负。则最大的能量值乘积为arr[i]*fn[k-1][j]，无论arr[i]为正数还是负数，都是取arr[i]*fm[k-1][j]
和arr[i]*fn[k-1][j]中最大的那个，因此可以统一表示成max(fm[k-1][j] * arr[i], fn[k-1][j] * arr[i])。fn同理。这一部分实现如15~19行（除掉17行）所示。
其中，第18行为什么要在max(fm[k-1][j] * arr[i], fn[k-1][j] * arr[i])外面套了一个与fm[k][i]比较取最大，第19行为什么要在min(fn[k-1][j] * arr[i], fn[k-1][j] * arr[i])外面套了一个与fm[k][i]比较取最小，这一点尚未思考清楚。也不想在这一点
上太纠结，欢迎讨论。

再看约束条件，约束条件要求相邻两个学生的位置编号的差不超过d，这一部分代码实现主要体现在第17行。arr[i]的编号为i（Python中索引为i-1），因此剩下k-1个人里，只能从编号为i-1（Python里应该为i-2）向左数d个位置，在i-1-D到i的位置（不包含i）里找第k-1个人
但是如果D太大，总不能在i<1的部分找人吧，因此需要取max(0,i-D),Ps.程序里是max(0,i-D)-1，因为Python里range取左开右闭，为了能取到边界条件0或者i-D，因此加了个-1.
再PS.动态规划里的边界条件处理也是非常重要的，需要尤其注意，不然非常容易出错。
说到边界条件，回看第16行！range(1,K),为什么不是range(K)呢？因为range(K)时i会从0开始迭代，会掩盖掉选择选中一个人的情况（也就是掩盖掉11~13行结果），因此这些细节一定要注意啊，不然很难做到程序百分百正确。


还有一点，打印结果！打印部分不仅仅是第22行，还有第20行，max(res,fm[K-1][i])，这是在第一层循环里的哦，但是不用在第二层循环里，不想细说了，自己理解去吧，不是很难。


ok，除了其中的一个小bug，基本理解完了。真的花了我n多时间啊啊！！！总体而言还是看了很多大神的代码和分析，才把这个完完全全理解掉的。对于我这个小白，最终能看到下面这个图，真的蛮开心！

写在最最最后：第一次自己敲字写博客，排版什么的自己真的不是很擅长，也没那个闲工夫去调整，各位看官凑合着看吧，谢谢！