文化课の疑难杂症

Start Recording：20201117

有时候会在机房里写作业，记录在这里。

语文

1. 要学会用文学语言而不是信息语言，不要写个文写得跟题解一样

数学

1. (x+8y+8z=n,x,y,zin N^*) 有 (666) 组正整数解，求 (n_{max})

   由于 (x,y,z) 都是正整数,因此 (n=8k+a(0<a<8)) 和 (n=8k+8) 的组数是一样多的((x>=8))

   考虑 ((y,z)) ,不妨设 (y>=z)
   ((y,z)=(1,1),(1,2)......(1,36))
   ((2,2),(2,3).......(2.35))
   ((3.3)................(3.34))
   (.......)
   ((18.18).(18,19))
   这样得到了 (36+34+32+......+2=342) 组解
   ((x,y,z)) 解的个数就为 (342 imes 2-18) (18为 (y=z) 的情形)= (666) 组，故 (n=37 imes 8+a(0<a<9)) 均符合, (304) 最大。

2. 路上编号1~10的十盏路灯，关3盏，但是不能相邻的2或3盏，两端不关，问方案

   (C_6^3) 如何计算？ ——7盏插3

3. （2020浙江 9+1 联盟11月联考，7）弦图由四个全等直角三角形和一个正方形构成，五种颜色染色，相邻不同色，方案数为 420 180

   题目没有给出什么样的方案是等价的，我自动默认是旋转等价，就挂了……

   五色：(120)

   四色：(C_2^1 imes C_5^1 imes P_4^3=240)

   三色：(P_5^2 imes C_3^1=60)

4. 有六种水果，有一种只能供一个人买，甲乙丙丁去买，每人只选一种，恰好买了其中三种，问购买的可能情况

   买那一种： (1 imes C_5^1 imes C_3^2 imes C_4^1 imes C_4^1=240)

   不买：(C_5^1 imes C_4^2 imes P_4^2=360)

5. 三角函数主要还是手感吧。

6. 已知函数 (f(x)=2cos x imes (a^2sin x+bcos x)(xin R)) 的值域为 ([-1,3]) ，

   （1）若函数 (y=f(x+varphi)) 的图象关于直线 (x=dfrac{pi}{2}) 对称，求 (|varphi|) 的最小值；

   （2）当 (xin[0,pi]) 时，方程 (|f(x)|=c) 有四个实数根，求 (c) 的取值范围。

   (1)

   [f(x)=2cos x imes (a^2sin x+bcos x)\ =a^2 sin 2x+bcos 2x+b\ herefore f(x)=sqrt{a^4+b^2}sin(2x+varphi)+b, an varphi=dfrac{b}{a^2} ]

   由题意可得 (b-sqrt{a^4+b^2}=-1,b+sqrt{a^4+b^2}=3) ，解得 (a^2=sqrt 3,b=1.)

   [ herefore f(x)=2sinBig(2x+dfrac{pi}{6}Big)+1\ herefore f(x+varphi)=2sinBig(2x+2varphi+dfrac{pi}{6}Big)+1 ]

   由于图象关于 (x=dfrac{pi}{2}) 对称，所以有

   [2 imes dfrac{pi}{2}+2varphi+dfrac{pi}{6}=dfrac{pi}{2}+kpi(kin Z)\ herefore varphi=dfrac{kpi}{2}-dfrac{pi}{3}(kin Z)\ herefore |varphi|_{min}=dfrac{pi}{6} ]

   (2)

   作图。

7. 三角函数常见技巧/推导：

   [sin x+cos x=sqrt 2 sin(x+frac{pi}{4})\ sin x-cos x=sqrt 2 sin(x-frac{pi}{4})\ sin^2x=frac{1}{2}(1-cos 2x)\ ]

   这个看比例，可以推广很多东西：

   [cos x+sqrt 3sin x=2sin(x+frac{pi}{6}) ]

   求导：

   [y=sin x,y'=cos x\ y=cos x,y'=-sin x\ y= an x,y'=sec^2 x\ y=cot x,y'=-csc^2x\ y=sec x,y'=sec x an x\ y=csc x,y'=-csc xcot x\ ]

   辅助角：

   [asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sinBig(x+arctan frac{b}{a}Big) ]

8. 三角函数求最小正周期，多项 (sin,cos) 的时候直接看最大的那个，不要老想着推式子…… 虽然一般第二小题就会让你推

9. 不要再犯向左右移动图象去动常数的sb错误了……

10. 上下只有正负号不同的时候可以考虑平方差公式。各种式子正反灵活使用。

11. 遇到类似 (sin(alpha+t)=cos(alpha+t')+cos(alpha-t')) ，先和差公式化开，然后转变成 ( an) 的表达式，再用容易求的角关联 (t,t') . （事实上齐次式都能用 ( an) 化吧）

12. 最简单三角方程：

    [egin{aligned} sin x&=a=>x=kpi+(-1)^karcsin a\\ cos x&=a=>x=2kpipmarccos a\\ an x&=a=>x=kpi+arctan a\\ cot x&=a=>x= ext{arccot }a+kpi end{aligned} ]

    其他只需要化成最简方程然后带入就好了。

13. 和差化积典型应用：

    [dfrac{2sin(x_2-x_1)}{sin x_2-sin x_1}=dfrac{4sindfrac{x_2-x_1}{2}cosdfrac{x_2-x_1}{2}}{2cosdfrac{x_2+x_1}{2}sindfrac{x_2-x_1}{2}}=dfrac{2cosdfrac{x_2-x_1}{2}}{cosdfrac{x_2+x_1}{2}} ]

    也不要总是拘泥于和差角啊。

14. 一些简要结论：

    设 (f(x),g(x)) 对任意 (xin R) 均有 (-dfrac{pi}{2}<f(x)pm g(x)<dfrac{pi}{2}) ，那么有 (cos f(x)>sin g(x)) 。

    [cos(cos x)>sin(sin x),sin(cos x)<cos(sin x)\\ sin(sin(sin x))<sin(cos(cos x))<cos(cos(cos x)) ]

    NB总结

15. 递推求通项的方法：

    • 构造特殊数列，利用特殊数列的通项求解
    • 迭代法，适当变形之后建立一般项和初始的联系
    • 不动点，分式线性递推数列 (a_{n+1}=dfrac{Ca_n+D}{Aa_n+B}(A eq 0)) （不动点就是让分式 (f(x)=x) 所得到的的取值）
    • 特征方程：(a_1=C,a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}+r(p eq 0))

16. 数列极限运算法则： (limlimits_{n oinfin}a_n=A,limlimits_{n o infin}b_n=B)

    • (limlimits_{n o infin}(a_npm b_n)=Apm B)
    • (limlimits_{n oinfin}(a_ncdot b_n)=Acdot B)
    • (limlimits_{n oinfin}dfrac{a_n}{b_n}=dfrac AB(B eq 0))
    • (limlimits_{n oinfin}left(1+dfrac 1n ight)^n=e,limlimits_{x o 0}dfrac{sin x}x=1)

17. 概念问题：有穷数列无极限。

18. 数列极限的 (varepsilon-N) 定义：设 ({a_n}) 是一个数列，(A) 是一个常数，如果对任意给定正数 (varepsilon) ，总存在一个正整数 (N) ，使得当 (n>N) 时，有 (|a_n-A|<varepsilon) ，那么数列 ({a_n}) 收敛于 (A) .

19. 算不出来具体值的时候不妨试试用大小于限定出确切值。

20. (limlimits_{n oinfin}n^{frac 1n}=lim e^{ln ncdot (1/n)}=e^{lim ln n/n}=e^{lim (1/n)}=e^0=1) .

21. 无穷等比数列求和：(limlimits_{n oinfin}S_n=dfrac{a_1}{1-q}(lim 1-lim q^n)=dfrac{a_1}{1-q}(0<|q|<1)) ；基本有限等比数列求和：裂项，错位，分组。

22. 极限有关性质

    (limlimits_{x o x_0}f(x)=A) 的充要是 (limlimits_{x o x_0^+}f(x)=limlimits_{x o x_0^-}f(x)=A) .

    (y=f(u),u=varphi(x),limlimits_{x o x_0}varphi(x)=u_0) ，且在 (x_0) 的一个邻域内 (varphi(x) eq u_0) ，(limlimits_{u o x_0}f(u)=A) ，(limlimits_{x o x_0}f(varphi(x))=A) .

    （局部有界性）若 (limlimits_{x o x_0}f(x)=A) ，则存在 (x_0) 去心邻域 (mathring{U}(x_0,delta)) 和 (M>0) 使得 (forall xinmathring{U}(x_0,delta),|f(x)|leq M) .

    （保号性） 若 (limlimits_{x o x_0}f(x)=A,A>0(A<0)) ，那么存在 (delta>0) 使得 (forall xinmathring{U}(x_0,delta)) ，有 (f(x)>0(f(x)<0)) .

23. (delta-varepsilon) 定义：设函数 (f(x)) 在 (x_0) 某一去心邻域 (mathring{U}(x_0,delta)) 内有定义，对 (forall varepsilon>0) 总存在 (delta>0) ，当 (0<|x-x_0|<delta) 时，有 (|f(x)-A|<varepsilon) 恒成立，则称 (f(x)) 当 (x o x_0) 时以 (A) 为极限。

24. 收敛准则（夹逼定理）：设 (f(x),g(x),h(x)) 在 (x_0) 点的去心邻域 (mathring{U}(x_0,delta)) 内有定义，且满足：对于 (forall xinmathring{U}(x_0,delta)) 有 (g(x)leq f(x)leq h(x)) ； (limlimits_{x o x_0}g(x)=limlimits_{x o x_0}h(x)=A) 。那么 (limlimits_{x o x_0}f(x)=A) 。

25. 常见函数导数性质

    [sin' x=cos x;cos'x=-sin x; an'x=sec^2x;cot'x=-csc^2x;sec'x=sec x an x; csc'x=-csc xcot x;\\ arcsin'x =dfrac 1{sqrt{1-x^2}};arccos'x=-dfrac 1{sqrt{1-x^2}};arctan'x=dfrac 1{1+x^2}; ext{arccot}'x=-dfrac1{1+x^2}\\ ln'x=dfrac 1x;(e^x)'=e^x;log_a'x=dfrac 1xlog_a e;(a^x)'=a^xln a ]

26. 基本求导法则

    [left(dfrac{u(x)}{v(x)} ight)'=dfrac{u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}{v(x)^2}(v(x) e 0) ]

    若 (u=varphi(x),u'_x=varphi'(x);y=f(x),y'_u=f'(u)) ，那么 (f'_x[varphi(x)]=f'(u)varphi'(x)) .

    若 (y=f(x),x=varphi(y)) ，(y) 在 (x) 处连续，(x) 在 (x) 处导数 ( eq 0) ，那么 (f'(x)=dfrac 1{varphi'(y)}) .

英语

1. We tried to make the plane take off on time,but finally we couldn't compete with avoid the bad weather.

   把 compete 看成 complete 的奇怪错误

2. When you feel stressed stressful ,what do you usually do to make yourself relaxed?

   你做个人罢。

3. The moment she left the market,she found herself cheated cheating when dealing with the seller.

   没有好好看题……被动啊。

4. Nowadays a number of people know that going on such a diet can't keep in good shape.

   go on a diet 固定搭配，节食，减肥

5. Tag Questions 迷惑行为大赏

   Many girls dislike sports, don't they do ?

   We shouldn't pretend to know what we don't know, should shall we?

   Everybody in your family is an athlete, isn't doesn't he?

   Mary didn't lose any weight after going on a diet,did she? （是的，没减轻）

   • No Yes ,she didn't lose any weight.

   Don't lose heart if you meet some trouble,will you? （好的，我不会的）

   • No OK ,I won't.

6. There are five recognized kiwi species living alive today.

   alive 不能用在名词前面。

7. Until now,no one has have found an extinct giant parrot anywhere.

   nc错误。

8. 记录一些 词 & 词组。

   make up for ：弥补

   on hand ：在跟前，在旁边

   in rags ：衣衫褴褛

   beg 乞讨

   ease/reduce/relieve the suffering we had seen

   march 行军走的步伐

   in circle 围成一圈

   exhausted 筋疲力尽

9. A terrible flood happened in the village last week, Killing more than 20 people.

   结果状语：Killing more than 20 people

10. 省略 if 的虚拟条件句。

    Had my neighbor told me of the upcoming rainstorm with sympathy , I would have appreciated his warning.

    Had the Greyhound salesclerk sympathetically informed me that my bus had already left , I probably would have said , " Oh , that's all right. I'll catch the next one. "

物理

1. 停在10层的电梯底板上放置有两块相同的条形磁铁，磁铁的极性如图所示，开始时两块磁铁在电梯底板上处于静止（　BC　BD ）

   

   A．若电梯突然向下开动（磁铁与底板始终相互接触），并停在1层，最后两块磁铁可能已碰在一起

   B．若电梯突然向下开动（磁铁与底板始终相互接触），并停在1层，最后两块磁铁一定仍在原来位置

   C．若电梯突然向上开动，并停在20层，最后两块磁铁可能已碰在一起

   D．若电梯突然向上开动，并停在20层最后两块磁铁一定仍在原来位置

   忽略了向上开动的时候还有减速的过程。

化学

生物

1. ATP的合成总是伴随着吸能反应的发生。（×）

   就 ATP 本身，断键吸能，成键放能，但是在 ATP 合成的时候（对于它本身是吸能），伴随着细胞里其他的放能反应 。

2. AMP即腺嘌呤核糖核苷酸，是RNA基本单位之一。

3. 动物细胞中，ATP合成中所需能量来源是呼吸作用中糖类等有机物氧化分解释放的能量。

4. 远离腺苷的高能磷酸键最容易断裂，如果题目表述是两个高能磷酸键最容易断裂且没有其他合适答案的话可以认为是错的。

5. 细胞内，通常一个吸能反应要伴随着一个放能反应。

6. 植物细胞内最重要的放能反应是糖的氧化。