差分与前缀和

XII.差分与前缀和

打 表 出 奇 迹

我们先考虑前缀和。

对于两个下标\(i,j\)，我们考虑\(k\)阶前缀和后，位置\(j\)会被加上多少个\(a_i\)。显然，加上\(a_i\)的数量，仅与\(j-i\)的值有关。

于是我们就打表辣

\(k\) \ \(j-i\)	0	1	2	3	4
1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5
3	1	3	6	10	15
4	1	4	10	20	35

发现如果我们将它旋转\(45^{\circ}\)，就会得到杨辉三角形。

于是我们得出了这样一个多项式：

\[b_i=C_{k+i}^k \]

其中它的意义是相差为\(i\)的两个下标之间贡献的次数。

于是我们计算\(ab\)，其中\(a\)为原序列，得到的就是\(k\)阶前缀和结果。\(k\)可以直接对模数取模，这个可以通过\(b\)的式子看出。

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至于差分，类似地，我们打出表来：

\(k\) \ \(j-i\)	0	1	2	3	4
1	1	-1
2	1	-2	1
3	1	-3	3	-1
4	1	-4	6	-4	1

我们发现这就是杨辉三角削掉头后，再把奇数列取负后的结果，于是有

\(b_i=C_k^i\times(-1)^i\)

然后类似地卷一起即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
int n,m,tp,a[N],b[N],all;
namespace Poly{
	const int mod=1004535809;
	const int G=3;
	int rev[N];
	int ksm(int x,int y){
		int rt=1;
		for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
		return rt;
	}
	void NTT(int *a,int tp,int LG){
		int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
		for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int md=1;md<lim;md<<=1){
			int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
			if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
			for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
				int w=1;
				for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
					int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
					a[pos+i]=(x+y)%mod;
					a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
				}
			}
		}
		if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
	}
	int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
	void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//using: Array A and B
		int lim=(1<<LG);
		for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
		for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
		NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
		for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
		NTT(A,-1,LG);
		for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
	}
}
using namespace Poly;
bool exceed;
void readm(){
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')m=(10ll*m+c-'0')%mod,exceed|=(m>=n),c=getchar();
}
int main(){
	scanf("%d",&n),readm(),scanf("%d",&tp);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	b[0]=1;
	if(tp==1)for(int i=1;i<=(exceed?n:m);i++)b[i]=1ll*b[i-1]*(m-i+1+mod)%mod*ksm(i,mod-2)%mod,b[i]=(mod-b[i])%mod;		
	else for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=1ll*b[i-1]*(m+i-1)%mod*ksm(i,mod-2)%mod;
	while((1<<all)<n)all++;
	mul(a,b,a,all+1);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);puts("");
	return 0;
}