XVIII.[八省联考2018]制胡窜
首先，本题parent tree上树上倍增+线段树合并找出每个点的 \(\text{endpos}\) 集合应该是没得说的。
于是我们现在考虑知道了 \(\text{enspos}\) 集合以及询问串长度 \(len\) 怎么求出答案。
首先，一个正常人稍微想想，都应该得出正难则反的推论，因为无论怎么说不合法的划分明显要来得比较工整。
于是问题转化为割两刀，能否切断所有串。我们设最左端串的右端点为 \(L\)，最右端串的右端点为 \(R\)。同时，设所有串的端点集合为 \(p_1,p_2,\dots,p_m\)。明显有 \(p_1=L,p_m=R\)。
- 若出现三个及以上无交串则无不合法划分。这是显然的，因为一次只能割断一个无交串。
- 若最左端的串与最右端的串有交，则两两串皆有交。考虑此种情形。
首先，此时，所有串的交集非空，等于最左串与最右串的交集，这是显然的。
则，若有至少一刀砍到了此交集上，则所有串就都被砍到了。
交集长度为 \(L-R+len\)。从中砍两刀，总方案数为 \(\dbinom{L-R+len-1}{2}\)。从中只砍一刀，方案数为 \((L-R+len-1)\times(n-len)\)。
若一刀都没有砍到此交集上，则显然有一刀砍到了 \(p_{1\sim i}\) 的交集上，另一刀砍到了 \(p_{i+1\sim m}\) 的交集上，其中 \(i\in[1,m)\)。
则，此部分答案为 \(\sum\limits_{i=1}^{m-1}[p_i-len+1,p_{i+1}-len+1)\times[R-len+1,p_{i+1})\)，其中两段东西分别是两刀可以取到的区间。计算区间长度之积，是 \(\sum\limits_{i=1}^{m-1}(p_{i+1}-p_i)\times(p_{i+1}-R+len-1)\)。拆成与 \(p\) 有关的项和无关的项，得到 \(\sum\limits_{i=1}^{m-1}p_{i+1}(p_{i+1}-p_i)-(R-len+1)\sum\limits_{i=1}^{m-1}p_{i+1}-p_i\)。继续展开，最终得到 \(\Big(\sum\limits_{i=1}^{m-1}p_{i+1}(p_{i+1}-p_i)\Big)-(R-len+1)(R-L)\)。最左边那一大坨可以在线段树合并时顺手维护掉，右边一大坨可以 \(O(1)\) 直接计算。
- 若最左端串与最右端串无交。
首先，对于与左右两端串皆有交的串来说，其仍然可以与前一种情形一样地计算。准确来说，若设 \(lp\) 表示最左的与 \(R\) 有交的串，\(rp\) 表示最右的与 \(L\) 有交的串，则仍有此部分答案为 \(\Big(\sum\limits_{i=lp}^{rp-1}p_{i+1}(p_{i+1}-p_i)\Big)-(R-len+1)(p_{rp}-p_{lp})\)。
但是，有一个例外。我们可以在 \([p_{rp}-len+1,L]\) 这段区间里砍一刀。这时，找到 \(np\) 是最左的与 \(L\) 无交的串，则此串必与 \(R\) 有交。于是，另一刀就砍在 \(np\) 与 \(R\) 的交集上，这时也能达成目标。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int read(){
int x=0;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return x;
}
int n=read(),m=read(),cnt=1,anc[200100][20],id[100100],tot;
char s[100100];
struct Suffix_Automaton{int ch[10],fa,len;}t[200100];
int Add(int x,int c){
int xx=++cnt;t[xx].len=t[x].len+1;
for(;x&&!t[x].ch[c];x=t[x].fa)t[x].ch[c]=xx;
if(!x){t[xx].fa=1;return xx;}
int y=t[x].ch[c];
if(t[y].len==t[x].len+1){t[xx].fa=y;return xx;}
int yy=++cnt;t[yy]=t[y],t[yy].len=t[x].len+1;
t[xx].fa=t[y].fa=yy;
for(;x&&t[x].ch[c]==y;x=t[x].fa)t[x].ch[c]=yy;
return xx;
}
int rt[200100];
#define mid ((l+r)>>1)
struct Section{
int lval,rval;
ll val;
Section(){lval=0,rval=n+1,val=0;}
Section(int P){lval=rval=P,val=0;}
Section(int L,int R,ll V){lval=L,rval=R,val=V;}
void print()const{printf("%d %d %lld\n",lval,rval,val);}
bool empty()const{return !lval&&rval==n+1;}
friend Section operator+(const Section&l,const Section&r){
if(l.empty())return r;if(r.empty())return l;
return Section(l.lval,r.rval,l.val+r.val+1ll*r.lval*(r.lval-l.rval));
}
};
struct SegTree{int lson,rson,sum;Section val;}seg[4001000];
void modify(int &x,int l,int r,int P){
if(l>P||r<P)return;
if(!x)x=++tot;seg[x].sum++;
if(l!=r)modify(seg[x].lson,l,mid,P),modify(seg[x].rson,mid+1,r,P),seg[x].val=seg[seg[x].lson].val+seg[seg[x].rson].val;
else seg[x].val=Section(P);
}
int merge(int x,int y){
if(!x||!y)return x+y;
int z=++tot;seg[z].sum=seg[x].sum+seg[y].sum;
seg[z].val=seg[seg[z].lson=merge(seg[x].lson,seg[y].lson)].val+seg[seg[z].rson=merge(seg[x].rson,seg[y].rson)].val;
return z;
}
int inneraskleft(int x,int l,int r){if(l==r)return l;if(seg[seg[x].lson].sum)return inneraskleft(seg[x].lson,l,mid);return inneraskleft(seg[x].rson,mid+1,r);}
int outeraskleft(int x,int l,int r,int L,int R){
if(l>R||r<L||!x)return -1;
if(L<=l&&r<=R){
if(!seg[x].sum)return -1;
return inneraskleft(x,l,r);
}
int tmp=outeraskleft(seg[x].lson,l,mid,L,R);
if(tmp!=-1)return tmp;
return outeraskleft(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
}
int inneraskright(int x,int l,int r){if(l==r)return r;if(seg[seg[x].rson].sum)return inneraskright(seg[x].rson,mid+1,r);return inneraskright(seg[x].lson,l,mid);}
int outeraskright(int x,int l,int r,int L,int R){
if(l>R||r<L||!x)return -1;
if(L<=l&&r<=R){
if(!seg[x].sum)return -1;
return inneraskright(x,l,r);
}
int tmp=outeraskright(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
if(tmp!=-1)return tmp;
return outeraskright(seg[x].lson,l,mid,L,R);
}
int querycount(int x,int l,int r,int L,int R){
if(l>R||r<L||!x)return 0;
if(L<=l&&r<=R)return seg[x].sum;
return querycount(seg[x].lson,l,mid,L,R)+querycount(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
}
void iterate(int x,int l,int r){if(!x)return;printf("%d[%d,%d]:%d\n",x,l,r,seg[x].sum);if(l!=r)iterate(seg[x].lson,l,mid),iterate(seg[x].rson,mid+1,r);}
vector<int>v[200100];
void dfs(int x){for(auto y:v[x])anc[y][0]=x,dfs(y),rt[x]=merge(rt[x],rt[y]);}
int doubling(int l,int r){int x=id[r];for(int i=19;i>=0;i--)if(anc[x][i]&&t[anc[x][i]].len>=r-l+1)x=anc[x][i];return x;}
Section queryarea(int x,int l,int r,int L,int R){
if(l>R||r<L||!x)return Section();
if(L<=l&&r<=R){return seg[x].val;}
return queryarea(seg[x].lson,l,mid,L,R)+queryarea(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
}
ll calc(int x,int len){
// iterate(rt[x],1,n);
int L=outeraskleft(rt[x],1,n,1,n),R=outeraskright(rt[x],1,n,1,n);
if(L+len<R-len+1&&querycount(rt[x],1,n,L+len,R-len))return 0;//three non-intersect
if(L>=R-len+1){//two intersect
ll A=seg[rt[x]].val.val-1ll*(R-len+1)*(R-L);//cut two useful
ll B=1ll*(L-R+len-1)*(L-R+len-2)/2+1ll*(L-R+len-1)*(n-len);//cut one useful
return A+B;
}
int lp=outeraskright(rt[x],1,n,L,R-len+1),rp=outeraskright(rt[x],1,n,L,L+len-1),np=outeraskleft(rt[x],1,n,L+len-1,R);
// printf("%d %d %d\n",lp,rp,np);
ll ret=0;if(lp<=rp)ret+=queryarea(rt[x],1,n,lp,rp).val-1ll*(R-len+1)*(rp-lp);
if(np>R-len+1)ret+=1ll*(L-rp+len-1)*(np-R+len-1);
return ret;
}
int main(){
scanf("%s",s+1);
for(int i=1,las=1;i<=n;i++)las=id[i]=Add(las,s[i]-'0');
for(int i=1;i<=n;i++)modify(rt[id[i]],1,n,i);
for(int i=2;i<=cnt;i++)v[t[i].fa].push_back(i);
dfs(1);
for(int j=1;j<=19;j++)for(int i=1;i<=cnt;i++)anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
// for(int j=0;j<=3;j++){for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",anc[i][j]);puts("");}
// for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",t[i].len);puts("");
for(int i=1,l,r;i<=m;i++)l=read(),r=read(),printf("%lld\n",1ll*(n-1)*(n-2)/2-calc(doubling(l,r),r-l+1));
return 0;
}