中国剩余定理

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先导知识：扩展欧几里得， 逆元。

引理1：若 (SUM = sum_{i = 1}^{n}a_{i}) 且其中只有一个数 (a_{k}) 不能被(P)整除， 那么(SUM) 不能被 (P) 整除， 且余数为 (a_{k} mod P)

引理2：在一个不能整除的式子中，若被除数扩大 (n) 倍，则余数在不超过除数的情况下同时扩大 (n) 倍

设 (S = prod_{i = 1}^{n}m_{i})， (M_{i} = S / m_{i})， 因为模数两两互质，所以 (M_{i}) 不能被 (m_{i}) 整除（互质）

设 (t_{i}) 满足 (M_{i}t_{i} equiv 1 (Mod m_{i}))， 即为 (M_{i}) 在 (Mod m_{i}) 意义下的逆元

如何保证其有解呢？这个同余方程有解， 当且仅当 (1 | gcd(m_{i}, M_{i}))； 然而上面就已经得到这两数互质， 即 (gcd(m_{i}, M_{i}) = 1)， 中国剩余定理在模数互质的情况下总有解

现在我们得到了 (M_{i}t_{i} equiv 1(Mod m_{i}))，

依据引理2， 两边同时乘以 (a_{i}) ， 有： (a_{i}M_{i}t_{i} equiv a_{i} (Mod m_{i}))

现在令 (Ans = sum_{i = 1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i})， 这个数满足两个重要条件：

对于 (k) 讨论：

把 (Ans) 分为两部分， 第一部分为 (One = a_{k}M_{k}t_{k})， 第二部分为 (Two = Ans - a_{k}M_{k}t_{k} = sum_{i = 1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i}, i ot= k)

对于第一部分， 有 (One equiv a_{k} (Mod m_{k}))

对于第二部分， 因为 (Two = sum_{i = 1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i}, i ot= k) 中每一项加数都含有 (m_{k}) 这一因子，故 (Two equiv 0 (Mod m_{k}))

我们的 (Ans = One + Two) 由引理1可得， (Ans) 满足 (Ans equiv a_{k} (Mod m_{k}))

因为讨论的 (k) 具有任意性， 故中国剩余定理的通项解为 $$sum_{i = 1}^{n}a_{i}M_{i}t_{i}$$

证毕。

其中 (t_{i}) 可以有扩展欧几里得算法解得

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Code

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){x = 1,y = 0;return a;}
    LL d = exgcd(b,a % b,x,y);
    LL temp = x;x = y,y = temp - y * (a / b);
    return d;
    }
LL China(){
    LL ans = 0,M = 1;
    for(int i = 1;i <= num;i++)M *= I[i].m;
    for(int i = 1;i <= num;i++){
        LL m = M / I[i].m;
        LL d = exgcd(m,I[i].m,x,y);
        ans = (ans + I[i].a * m * x) % M;
        }
    if(ans < 0)ans += M;
    return ans;
    }