P1351 联合权值

P1351 联合权值

题目描述
无向连通图 GG 有 nn 个点， n-1n−1 条边。点从 11 到 nn 依次编号,编号为 ii 的点的权值为 W_iW
i
​ ，每条边的长度均为 11 。图上两点 (u, v)(u,v) 的距离定义为 uu 点到 vv 点的最短距离。对于图 GG 上的点对 (u, v)(u,v) ，若它们的距离为 22 ，则它们之间会产生 W_v imes W_uW
v
​ ×W
u
​ 的联合权值。

请问图 GG 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式
输入格式：
第一行包含 1 个整数 n 。

接下来 n-1 行,每行包含 22 个用空格隔开的正整数 u,v u,v ，表示编号为 u和编号为 v 的点之间有边相连。

最后 1 行,包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 ii 个整数表示图 G 上编号为 ii 的点的权值为 W_i

输出格式：
输出共 11 行,包含 22 个整数，之间用一个空格隔开,依次为图 GG 上联合权值的最大值和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对 10007 取余。

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这题思维还不错。首先我们可以想到一个很浅显的算法：dfs每一个点，到第二层是累加(sum)，更新(max)，复杂度(O(n^{2}))，得到(60pnts)

好了现在继续分析：因为这是一棵树，对于每一个点，它当作“桥梁”时，连接了若干个点，对于连接的任意两点，他们能构成联合权值

很显然依据贪心，我们可以在线性时间内求出最大值和第二大值，他们相乘即为这个桥梁能产生的最大联合权值

好的，最大联合权值解决了，现在我们解决联合权值之和

对于某一个节点（我们把它叫做(1)，这个“桥梁”连接的所有点编号为(1 - n)），他产生的权值之和为：

(A[1] = w[1] * w[2] + w[1] * w[3]+ ... + w[1] * w[n])

( = w[1] * sum_{i = 1} ^ {n}w[i],i otin 1)

( = (sum_{i = 1} ^ {n}w[i] * w[1] ) - w[1] ^ {2})

所以这一桥梁所有点产生的联合权值为：

(ans =(sum_{i = 1}^{n}w[i])^{2} - sum_{i = 1}^{n}w[i]^{2})

这题还要培养看清楚题的好习惯啊，题目上说了，只有联合权值之和要取模

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int Maxn = 1000019,INF = 1e9, M = 10007;
int head[Maxn],nume = 1;
struct Node{
    int v,dis,nxt;
    }E[Maxn << 3];
void add(int u,int v,int dis){
    E[++nume].nxt = head[u];
    E[nume].v = v;
    E[nume].dis = dis;
    head[u] = nume;
    }
int num,w[Maxn];
LL ans,sum;
void find(int u){
	int Max = 0,Maxx = 0;
	LL tot = 0;
	for(int i = head[u];i;i = E[i].nxt){
		int v = E[i].v;
		tot = (tot + w[v]) % M;
		if(w[v] >= Maxx)Max = Maxx,Maxx = w[v];
		else if(w[v] > Max)Max = w[v];
		}
	ans = max(ans,Maxx * Max * 1ll);
	tot = tot * tot % M;
	for(int i = head[u];i;i = E[i].nxt){
		int v = E[i].v;
		tot -= (w[v] * w[v]) % M;
		}
	sum = (sum + tot) % M;
	}
int main(){
	num = RD();
	for(int i = 1;i <= num - 1;i++){
		int u = RD(),v = RD();
		add(u,v,1),add(v,u,1);
		}
	for(int i = 1;i <= num;i++)w[i] = RD();
	for(int i = 1;i <= num;i++)find(i);
	printf("%lld %lld
",ans,(sum + M) % M);
	return 0;
	}