XidianOJ 1063 Chemistry Problem

题目描述

lw最近正在学习立体化学。立体化学中常用Fischer投影式表示分子的立体构型，例如，对于酒石酸HOOC(CHOH)₂COOH，如果用一根横线表示羟基，略去氢原子，它有2²=4种可能的Fischer投影式，如图所示。

然而，酒石酸的立体异构体数目并不是4，因为Fischer投影式具有一个奇怪的性质：将其在纸面上旋转180度后，仍然表示一个相同的立体异构体。例如，上图中第0和第3个（从左往右数，编号从0开始）Fischer投影式其实表示同一种立体异构体。

那么问题来了：对于糖酸HOOC(CHOH)_nCOOH，它有多少不同的立体异构体呢？

更形式化地，本题就是：用2种颜色对排成一排的n个方块染色，将所有方块的顺序和颜色都反转，得到的染色方案与原染色方式视为等价的，那么有多少种不同的染色方案？

由于答案很大，而且lw很讨厌高精度，你只要输出答案对1000000007的模即可。

输入

多组数据（最多1000组）。每组数据1行，包含整数n。

输入保证：1<=n<=10⁹。

输出

对于每组数据，输出1行，包含1个整数，即答案模1000000007。

--正文

没有最后的说明估计我就做不来这题了。。

先写几个看看就懂了

如果不管等价的，所有的方案是2^n

n为奇数的时候，

易知没有可能有自身排列与倒转后相等的染色方案，所以方案数为2^(n-1)

n为偶数的时候

可能存在自身排列在倒转转色后与原排列的染色方案

以染红色为0，染白色为1，

　　1100 -》倒转变色后 1100 就是一种

可以发现第一位与最后一位是10（或01）对应的，同理一直到n/2位，所以其实就在n/2里随意排列0，1

所以这样的染色方案共有2^(n/2)种

其他的染色方案在2^n都重复了两次

所有最终的结果就是2^(n/2) + （2^n - 2^(n/2）) / 2

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
#define MOD 1000000007
LL Fast_Mod(LL a,LL b,LL p){
    LL res = 1,base = a;
    while (b){
        if (b&1)
            res = (res*base) % p;
        base = (base*base) % p;
        b = b >> 1;
    }
    return res;
}

LL n;

int main(){
    while (scanf("%lld",&n)!= EOF){
        if (n % 2 == 0){
            LL tmp1 = Fast_Mod(2,n/2,MOD) % MOD; 
            LL tmp2 = Fast_Mod(2,n-1,MOD) % MOD;
            LL tmp3 = Fast_Mod(2,n/2-1,MOD) % MOD; 
            LL res = (tmp1 + tmp2 - tmp3 + MOD) % MOD;
            printf("%lld
",res);
        }
        else 
            printf("%lld
",Fast_Mod(2,n-1,MOD));
    }
    return 0;
}