编程之美：数组分割

题目概述：有一个没有排序，元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。

假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略，令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }
按照这个递推公式来计算，最后找出集合S(2N, N)中与SUM最接近的那个和，这便是答案。
因为这个过程中只关注和不大于SUM/2的那个子数组的和。所以集合中重复的和以及大于SUM/2的和都是没有意义的。把这些没有意义的和剔除掉，剩下的有意义的和的个数最多就是SUM/2个。所以，我们不需要记录S(2N,N)中都有哪些和，只需要从SUM/2到1遍历一次，逐个询问这个值是不是在S(2N,N)中出现，第一个出现的值就是答案。

例子：

比如说有一个6个数的数组，分成两个数组，其中每个数组有3个数：

[2,5,7,9,11,13]

计算可得：SUM=47，SUM/2=23.5

我们需要求的是：

k=6,i=3时，套入上面公式可得：

S(6,3)=S(5,3) U {13+{S(5,2)}}

集合S(5,3)={14,16,18,20,22,21,23,25,27}

集合S(5,2)={7,9,11,12,13,14,16,18,20}

13+S(5,2)={20,22,24,25,26,27,29,31,33}

最后：

S(6,3)={14,16,18,20,21,22,23,24,25,26,27,29,31,33}

我们在集合S(6,3)中，从SUM/2（23.5）到1遍历一次，逐个询问这个值是不是在S(6,3)中出现，第一个出现的值就是答案，也就是23，即答案。

public class Main {  
  
    public static void main(String[] args) {  
        int A[] = { 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 };  
        // int A[] = { 1, 5, 7, 8, 9, 6, 3, 11, 20, 17 };  
        func(A);  
    }  
  
    static void func(int A[]) {  
        int i;  
        int j;  
  
        int n2 = A.length;  
        int n = n2 / 2;  
        int sum = 0;  
        for (i = 0; i < A.length; i++) {  
            sum += A[i];  
        }  
  
        /** 
         * flag[i][j]:任意i个数组元素之和是j,则flag[i][j]为true 
         */  
        boolean flag[][] = new boolean[A.length + 1][sum / 2 + 1];  
        for (i = 0; i < A.length; i++)  
            for (j = 0; j < sum / 2 + 1; j++)  
                flag[i][j] = false;  
          
        flag[0][0] = true;  
          
        for (int k = 0; k < n2; k++) {  
            for (i = k > n ? n : k; i >= 1; i--) {  
                // 两层外循环是遍历集合S(k,i)  
                for (j = 0; j <= sum / 2; j++) {  
                    if (j >= A[k] && flag[i - 1][j - A[k]])  
                        flag[i][j] = true;  
                }  
            }  
        }  
        for (i = sum / 2; i >= 0; i--) {  
            if (flag[n][i]) {  
                System.out.println("sum is " + sum);  
                System.out.println("sum/2 is " + sum / 2);  
                System.out.println("i is " + i);  
                System.out.println("minimum delta is " + Math.abs(2 * i - sum));  
                break;  
            }  
        }  
    }  
}