• 数论相关总结


    参考链接
    数论符号以及函数模板:
    符号:
    (连加:) (sum_{i=1}^{n} i)
    (连乘:) (prod_{i=1}^{n} i)
    (整除:(p为q的因子)p|q)
    (函数)
    积性函数:
    (积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(a*b)=f(a)*f(b)的数论函数)
    φ(n) -欧拉函数
    μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目
    gcd(n,k) -最大公因子,当k固定的情况
    d(n) -n的正因子数目
    σ(n) -n的所有正因子之和
    σk(n) - 因子函数,n的所有正因子的k次幂之和,当中k可为任何复数。
    1(n) -不变的函数,定义为 1(n) = 1 (完全积性)
    Id(n) -单位函数,定义为 Id(n) = n(完全积性)
    Idk(n) -幂函数,对于任何复数、实数k,定义为Idk(n) = n^k (完全积性)
    ε(n) -定义为:若n = 1,ε(n)=1;若 n > 1,ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”(完全积性)
    λ(n) -刘维尔函数,关于能整除n的质因子的数目
    γ(n),定义为γ(n)=(-1)^ω(n),在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
    性质:
    (由唯一分解定理:n = p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...*p_i^{a_i})
    ((1):f(n)=fleft(p_{1}^{a_{1}} ight) fleft(p_{2}^{a_{2}} ight) ldots fleft(p_{n}^{a_{n}} ight))
    ((2):fleft(p^{n} ight)=f^{n}(p))

    常见的狄利克雷卷积:
    (狄利克雷卷积运算:(f * g)(n)=sum_{d | n} f(d) gleft(frac{n}{d} ight))
    (性质: 交换律:f∗g=g∗f 结合律:(f∗g)∗h=f∗(g∗h) 分配率:f∗(g+h)=f∗g+f∗h 单位元:f∗e=e∗f 若f,g 均为积性函数,则f∗g也为积性函数)
    (d(n)=sum_{d | n} 1 mathbb{即} d=1 * 1)
    (sigma(n)=sum_{d | n} d mathbb{即} | sigma=d * 1)
    (varphi(n)=sum_{d | n} mu(d) frac{n}{d} mathbb{即} varphi=mu * I d)
    (sum_{d | n} varphi(d) frac{n}{d} mathbb等于p^{q-1}*(p+(p-1)*q) 其中设n=p^q:对于n=p_1^q_1*p_2^q_2...利用积性函数性质相乘即可)

    欧拉函数:
    (欧拉函数通式:) (varphi(n)=n * prod_{i=1}^{k}left(1-frac{1}{p_{i}} ight))
    (性质:若n时质数p的k次幂则:varphi(n)=p^{k}-p^{k-1}=(p-1) p^{k-1},因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质)
    (积性函数:varphi(nm)=varphi(n) imesvarphi(m))
    (n为奇质数时:varphi(2n)=varphi(n))
    (n为质数时:varphi(n)=n-1)
    (与欧拉定理、费马小定理的关系)
    (对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有:a^{varphi(p)} equiv 1 quad(mod p))

    (Möbius function(莫比乌斯函数):mu(d)=(-1)^{k})
    (mu(n)=left{egin{array}{l}{1},space若n等于1 \ {(-1)^{k}} ,若n无平方数因数且n=p1​∗p2​⋅⋅⋅pk\ {0},若n有平方因数end{array} ight.)

    (Dirichlet product(狄利克雷卷积) ,(f * g)(n)=sum_{d | n} f(d) * gleft(frac{n}{d} ight))

    (莫比乌斯反演:f(n)=sum_{d | n} g(d))

    (杜教筛:已知数论函数f(n),现在要求S(n)=sum_{i=1}^{n} f(i))

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Tianwell/p/11469522.html
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