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数论符号以及函数模板:
符号:
(连加:) (sum_{i=1}^{n} i)
(连乘:) (prod_{i=1}^{n} i)
(整除:(p为q的因子)p|q)
(函数)
积性函数:
(积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(a*b)=f(a)*f(b)的数论函数)
φ(n) -欧拉函数
μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) -最大公因子,当k固定的情况
d(n) -n的正因子数目
σ(n) -n的所有正因子之和
σk(n) - 因子函数,n的所有正因子的k次幂之和,当中k可为任何复数。
1(n) -不变的函数,定义为 1(n) = 1 (完全积性)
Id(n) -单位函数,定义为 Id(n) = n(完全积性)
Idk(n) -幂函数,对于任何复数、实数k,定义为Idk(n) = n^k (完全积性)
ε(n) -定义为:若n = 1,ε(n)=1;若 n > 1,ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”(完全积性)
λ(n) -刘维尔函数,关于能整除n的质因子的数目
γ(n),定义为γ(n)=(-1)^ω(n),在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
性质:
(由唯一分解定理:n = p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...*p_i^{a_i})
((1):f(n)=fleft(p_{1}^{a_{1}}
ight) fleft(p_{2}^{a_{2}}
ight) ldots fleft(p_{n}^{a_{n}}
ight))
((2):fleft(p^{n}
ight)=f^{n}(p))
常见的狄利克雷卷积:
(狄利克雷卷积运算:(f * g)(n)=sum_{d | n} f(d) gleft(frac{n}{d}
ight))
(性质:
交换律:f∗g=g∗f
结合律:(f∗g)∗h=f∗(g∗h)
分配率:f∗(g+h)=f∗g+f∗h
单位元:f∗e=e∗f
若f,g
均为积性函数,则f∗g也为积性函数)
(d(n)=sum_{d | n} 1 mathbb{即} d=1 * 1)
(sigma(n)=sum_{d | n} d mathbb{即} | sigma=d * 1)
(varphi(n)=sum_{d | n} mu(d) frac{n}{d} mathbb{即} varphi=mu * I d)
(sum_{d | n} varphi(d) frac{n}{d} mathbb等于p^{q-1}*(p+(p-1)*q) 其中设n=p^q:对于n=p_1^q_1*p_2^q_2...利用积性函数性质相乘即可)
欧拉函数:
(欧拉函数通式:) (varphi(n)=n * prod_{i=1}^{k}left(1-frac{1}{p_{i}}
ight))
(性质:若n时质数p的k次幂则:varphi(n)=p^{k}-p^{k-1}=(p-1) p^{k-1},因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质)
(积性函数:varphi(nm)=varphi(n) imesvarphi(m))
(n为奇质数时:varphi(2n)=varphi(n))
(n为质数时:varphi(n)=n-1)
(与欧拉定理、费马小定理的关系)
(对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有:a^{varphi(p)} equiv 1 quad(mod p))
(Möbius function(莫比乌斯函数):mu(d)=(-1)^{k})
(mu(n)=left{egin{array}{l}{1},space若n等于1 \ {(-1)^{k}} ,若n无平方数因数且n=p1∗p2⋅⋅⋅pk\ {0},若n有平方因数end{array}
ight.)
(Dirichlet product(狄利克雷卷积) ,(f * g)(n)=sum_{d | n} f(d) * gleft(frac{n}{d} ight))
(莫比乌斯反演:f(n)=sum_{d | n} g(d))
(杜教筛:已知数论函数f(n),现在要求S(n)=sum_{i=1}^{n} f(i))