第五章、正交变换
一、正交变换基本概念
图像是许多点冲激函数的累加，图像通过系统的效果就是每一点冲激函数通过系统的响应之和。
任何图像都可以分解为基图像之和，基图像相互是正交的，图像变换的本质是寻找合适的基图像来表达图像。
广泛应用于图像增强，复原，编码，描述和特征提取等方面。
图像正交变换分三大类：
*正弦/余弦变换‘；
*方波型变换；
*基于特征向量的变换。
二、离散傅里叶变换
离散傅里叶变换是最经典的一种正弦/余弦型正交变化。
建立了空间域与频域间的联系，具有明确的物理意义，能够更直观、方便地解决许多图像处理问题。
具有许多在工程上有重要意义的独特性质，而且具有快速算法，广泛应用于数字图像处理领域。
*定义：
狄里赫莱条件：有限个间断点；有限个极值点；绝对可积。
傅里叶变换---值域动态范围压缩。
*应用：
傅里叶变换特点：
1） 反应频域特性；
2） 将卷积运算化为乘积运算。
1、在图像滤波中的应用
变化后的图像，中间部分为低频部分，越靠外频率越高。可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或低频分量。
2、在图像压缩的应用中
高频反应细节、低频反映景物概貌的特征。
三、其它正交变化
1、一维DCT
傅里叶变换的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。
实偶函数的傅里叶变换也必然是实偶函数。基本思想将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，其傅里叶变换为实偶函数，仅包含余弦项。连续函数和离散函数的余弦变换都是基于这一原理。
余弦变换是傅里叶变换的特例，是简化傅里叶变换的重要方法。
离散余弦变换DCT是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。
DCT的本质仍然是DFT，f(t)的DCT结果所表现出来的频域特征本质上是和DFT所反映的频域特征是相同的。
2、二维余弦变换
基本思想：形成二维偶函数。先做水平镜像，再做垂直镜像。
3、余弦变换的性质
*可分离性
二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的。
二维DCT的频谱分布的特点：
DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT，因此，其频谱与DFT相差一倍。
4、DCT变换的应用
a）余弦变换主要用于图像压缩，国际压缩标准JPEG格式中用到了DCT变换。
b）与DFT相似。即高频部分压缩多一点，低频部分压缩少一点。
