• [离散时间信号处理学习笔记] 7. z变换


    z变换及其收敛域

    回顾前面的文章,序列$x[n]$的傅里叶变换(实际上是DTFT,由于本书把它叫做序列的傅里叶变换,因此这里以及后面的文章也统一称DTFT为傅里叶变换)被定义为

    $X(e^{jomega}) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n} }$

    序列$x[n]$的z变换被定义成

    $X(z) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n} }$

    其中$z$就是一个复数变量,可见$z$变换与傅里叶变换一样把序列变成了函数。复变量$z$可以表示形式$z=|z|e^{jomega}=re^{jomega}$,代入z变换变成

    $X(z) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]r^{-n}e^{-jomega n} }$

    可以发现傅里叶变换就是$r=1$的z变换。

    3D 2D

    要使得z变换有意义,那么变换所得的函数必须在有限处收敛,即

    $egin{align*}
    |X(z)|&= left|sum_{n=-infty}^{infty}x[n]r^{-n}e^{-jomega n} ight|\
    &<sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|r^{-n} \
    &=x[0]+ sum_{n=1}^{infty}|x[n]|(r^{-1})^n+sum_{n=1}^{infty}|x[-n]|r^n <infty
    end{align*}$

    按照root test,需要满足以下条件才能使得函数收敛

    $left{egin{matrix}
    displaystyle{ limsup_{n oinfty}|x[n]|^{frac{1}{n}}r^{-1} < 1 }\
    displaystyle{ limsup_{n oinfty}|x[-n]|^{frac{1}{n}}r < 1 }
    end{matrix} ight.$

    $left{egin{matrix}
    r &> &displaystyle{lim_{n oinfty} |x[n]|^{frac{1}{n}}} \
    r &< &displaystyle{lim_{n oinfty} |x[-n]|^{frac{1}{-n}}}
    end{matrix} ight.$

    观察上面的不等式,可以发现z变换的收敛可以分为五种

    • $x[n]$是右边序列,即序列在$n<N_1<infty$处全为0,那么该序列的收敛域就是从极点(使得函数趋于$pminfty$的点)往外延伸到$z=pminfty$
    • $x[n]$是左边序列,即序列在$n>N_2>-infty$处全为0 ,那么该序列的收敛域就是从极点向内延伸至$z=0$
    • $x[n]$是双边序列,把该序列分成右边序列与左边序列后,如果这两个序列的z变换的收敛域有重合的部分,则该序列z变换的收敛域呈圆环状
    • $x[n]$是双边序列,把该序列分成右边序列与左边序列后,如果这两个序列的z变换的收敛域没有重合的部分,则该序列z变换不存在收敛域
    • $x[n]$是有限长序列,那么该序列的z变换必定在有限的范围内收敛

    ROD

    图中阴影部分为收敛域,其中红色圆圈是$|z| = r = 1$,即傅里叶变换,如果z变换的收敛域包含$r=1$的圆圈,就表明该序列的傅里叶变换收敛。

    z变换例子

    考虑一个为两个实指数和的信号

    $x[n] = left(frac{1}{2} ight)^n u[n]+left(-frac{1}{3} ight)^n u[n]$

    其z变换为

    $egin{align*}
    X(z) &= sum_{n=-infty}^{infty}left{ left(frac{1}{2} ight )^n u[n]+left(-frac{1}{3} ight )^n u[n] ight }z^{-n}\
    &=sum_{n=-infty}^{infty}left(frac{1}{2} ight )^n u[n]z^{-n}+sum_{n=-infty}^{infty}left(-frac{1}{3} ight )^n u[n]z^{-n}\
    &=sum_{n=0}^{infty}left(frac{1}{2}z^{-1} ight )^n +sum_{n=0}^{infty}left(-frac{1}{3}z^{-1} ight )^n \
    &=frac{1}{1-frac{1}{2}z^{-1}}+frac{1}{1+frac{1}{3}z^{-1}} quad Geometric Series\
    &=frac{2zleft(z-frac{1}{12} ight )}{left(z-frac{1}{2} ight )left(z+frac{1}{3} ight )}
    end{align*}$

    为了使z变换收敛,必须满足条件

    $left{egin{matrix}
    left| frac{1}{2}z^{-1} ight|&<&1\
    left| -frac{1}{3}z^{-1} ight|&<&1
    end{matrix} ight.$

    $left{egin{matrix}
    left| z ight|&>&frac{1}{2}\
    left| z ight|&>&frac{1}{3}
    end{matrix} ight.$

    由此可得到收敛域为$|z|>frac{1}{2}$。观察z变换的结果,可以发现:

    当$z=frac{1}{2}$或者$z=-frac{1}{3}$时,z变换趋于无穷,因此这两个点为极点

    当$z=0$或者$z=frac{1}{12}$时,z变换为0,因此这两个点为零点

    Exp

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