函数连续性与间断点
函数的连续性
自然界中有许多现象,如气温的变化,河水的流动,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的间断点.下面我们引出增量的概念,然后描述连续性,然后来描述连续性,并引出函数连续性的定义.
设一个变量 (u) 从它的一个初值 (u_1) 变到终值 (u_2),终值与初值的差 (u_2-u_1) 就叫做变量 (u) 的增量,记作 (Delta u),即 $$Delta u=u_2-u_2.$$
增量 (Delta u) 可以是正的,也可以是负的,在 (Delta u) 是正的情形时,变量 (u) 从 (u_1) 到 (u_2) 是增大的;当 (Delta u) 为负时,变量 (u) 是减少的.
应该注意到:记号 (Delta u) 并不表示某个量 (Delta) 与 变量 (u) 的乘积(估计也不会有人这样认为吧),而是一个整体不可分割的记号.
现在假设函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某个邻域内是有定义的.自变量 (x) 在这个邻域内从 (x_0) 到 (x_0+Delta x) 时函数值 (f(x)) 相应地从 (f(x_0)) 变到 (f(x_0+Delta x)),因此函数值的对应增量为$$Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0).$$习惯上也称 (Delta y) 为函数的增量.
加入保持 (x_0) 不变而让自变量的增量 (Delta x) 变动,一般来说,函数 (Delta y) 也要随着变动.现在外面对连续性的概念可以这样描述:如果 (Delta x) 趋近于零时,函数的对应增量 (Delta y) 也趋近于零,即$$lim_{Delta x o 0}Delta y=0$$或$$lim_{Delta x o 0}[f(x_0+Delta x)-f(x_0)]=0,$$那么就称函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 处是连续的.