函数的极限
函数极限的性质
与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相应性质.它们都可以根据函数极限的定义,运用类似于证明收敛数列性质的证明方法证明.由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种形式,下面仅以"(lim_{x o x_0}f(x))"这种形式为代表给出关于函数极限的一些定理,至于其他形式的定理只要稍作改变即可.
定理1(函数极限的唯一性)
如果 (lim_{x o x_0}) 存在,那么极限唯一.
定理2(函数极限的局部有界性)
如果 (lim_{x o x_0}f(x)=A),那么存在常数 (M>0) 和 (delta>0),使得当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有 (|f(x)|leq M).
证:因为 (lim_{x o x_0}f(x)=A),所以取 (varepsilon=1),则 (exists delta>0),当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有$$|f(x)-A|<1Rightarrow|f(x)|leq|f(x)-A|+|A|<|A|+1,$$记 (M=|A|+1),则定理 (2) 就获得证明.
定理3(函数极限的局部保号性)
如果 (lim_{x o x_0}f(x)=A),且 (A>0)(或 (A<0)),那么存在常数 (delta>0),使得当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有 (f(x)>0)(或 (f(x)<0)).
证:就 (A>0) 的情形证明.
因为 (lim_{x o x_0}=A>0),所以,取 (varepsilon=frac{A}{2}>0),则 (exists delta>0),当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有$$|f(x)-A|<frac{A}{2}Rightarrow f(x)>A-frac{A}{2}=frac{A}{2}>0.$$相同方法可以证明 (A<0) 的情况.
从证明中可以得到一个更强的结论:
定理3'
如果 (lim_{x o x_0}f(x)=A(A ot=0)),那么就存在着 (x_0) 的某一去心邻域 (mathring{U}(x_0)),当 (xinmathring{U}(x_0)) 时,就有 (|f(x)|>frac{|A|}{2}).
由定理3,易得以下结论:
如果在 (x_0) 的某去心邻域内 (f(x)geq 0)(或 (f(x)leq 0)),而且 (lim_{x o x_0}f(x)=A),那么 (Ageq 0)(或 (Aleq 0)).
定理4(函数极限与数列极限的关系)
如果极限 (lim_{x o x_0}) 存在.({x_n}) 为函数 (f(x)) 的定义域内任一收敛于 (x_0) 的数列,且满足:(x_n ot=x_0)((nin mathbb{N}_+)),那么相应的函数值数列 ({f(x_n)}) 必收敛,且 (lim_{n oinfty}f(x_n)=lim_{x o x_0}f(x)).
证:设 (lim_{x o x_0}f(x)=A),则 (forall varepsilon>0,exists delta>0),当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有 (|f(x)-A|<varepsilon).
又因 (lim_{n oinfty}x_n=x_0),故对 (delta>0),(exists N),当 (n>N) 时,有 (|x_n-x_0|<delta).
又假设,(x_n ot=x_0(xinmathbb{N}_+)),故当 (n>N) 时,(0<|x_n-x_0|<delta),从而 (|f(x_n)-A|<varepsilon),即 (lim_{n oinfty}f(x_n)=A).