Educational Codeforces Round 16 D. Two Arithmetic Progressions （不互质中国剩余定理）

Two Arithmetic Progressions

题目链接：

http://codeforces.com/contest/710/problem/D

Description

You are given two arithmetic progressions: a1k + b1 and a2l + b2. Find the number of integers x such that L ≤ x ≤ R and x = a1k' + b1 = a2l' + b2, for some integers k', l' ≥ 0.

Input

The only line contains six integers a1, b1, a2, b2, L, R (0 < a1, a2 ≤ 2·109, - 2·109 ≤ b1, b2, L, R ≤ 2·109, L ≤ R).

Output

Print the desired number of integers x.

Sample Input

``` 2 0 3 3 5 21 2 4 3 0 6 17 ```

Sample Output

``` 3 2 ```
##题意：求[L,R]区间内有多少个整数y满足 y = k1*x1+b1 且 y = k2*x2+b2. (x1 x2 >= 0)
##题解：首先把两条直线画到平面上，题目限制了直线斜率都大于零. 又由于 x1 x2 >= 0. 所以y的区间可以进一步限制为 [max(L, max(b1,b2)), R]; 问题就变为在这个新区间里找使得两个式子相等的"整点"个数了. 这里可以把两个式子通过拓展中国剩余定理(因为不互质)合并成一个式子, 然后计算区间内的解的个数即可. 注意：可能两式子不能合并，直接输出0; 正确计算区间内的解的个数(见注释).
比赛做的时候只想到了拓展中国剩余定理这里，然后想的是b不一定小于k所以不算是模方程，以为不能做. 实际上(拓展)中国剩余定理在处理同余模方程组的时候不要求余数小于模数.
##代码： ``` cpp #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #define LL long long #define eps 1e-8 #define maxn 10000100 #define mod 100000007 #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f #define mid(a,b) ((a+b)>>1) #define IN freopen("in.txt","r",stdin); using namespace std;

LL x,y,gcd;
void ex_gcd(LL a,LL b)
{
if(!b) {x=1;y=0;gcd=a;}
else {ex_gcd(b,a%b);LL temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;}
}

LL n,m[2],a[2]; //x%m=a
LL cur, T;
/模线性方程组--不互质中国剩余定理/
int ex_China() {
LL m1,m2,n1,n2,x0;
m1=m[0];n1=a[0];

for(int i=1; i<n; i++)
{
    m2=m[i];
    n2=a[i];
    ex_gcd(m1,m2);
    if((n2-n1)%gcd) return -1;
    LL tmp=m2/gcd;
    x0=(x*((n2-n1)/gcd)%tmp+tmp)%tmp;

    n1=n1+x0*m1;
    m1=m1/gcd*m2;
}
n1=(n1+m1)%m1;

cur = n1; T = m1;
return T;

}

int main(int argc, char const *argv[])
{
//IN;

n = 2;
cin >> m[0] >> a[0] >> m[1] >> a[1];
LL L,R; cin >> L >> R;
L = max(max(a[0], a[1]), L);

int ret = ex_China();

LL ans = 0;
if(ret == -1) { /*特判不能合并的方程组*/
    printf("0
");
    return 0;
}

if(cur >= L) {  /*找一个合适的起点，分别计算L-1和R到这个点之间有多少个解*/
    cur -= ((cur-L)/T + 1) * T;
}

if(L <= R) {
    ans = (R - cur) / T - (L - 1 - cur) / T;
}

printf("%I64d
", ans);

return 0;

}

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Sunshine-tcf/p/5801347.html