Codeforces.578E.Walking(构造)

题目链接

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(Description)

给定一个长为(n)的足迹序列（只包含(L,R)两种字符），你需要(LRLRLR...)这样交替在(L)和(R)上走（第一步可以选择(L)也可以选(R)）。当你在(L)时，下一步可以走到任意一个没走过的(R)；在(R)时，下一步可以走到任意一个没走过的(L)。求走完这个(L,R)序列最少需要往回走几次，并输出方案（往回走是指从位置(i)走到位置(j)，(jlt i)）。保证存在一组可行方案。
(nleq10^5)。

(Solution)

首先(L,R)数量差大于(1)无解。
如果我们需要往回走(k)次，那么我们可以将序列分成(k+1)个分别合法的子序列。
反过来，如果我们能将序列分成(k)个合法的子序列，小于往回走的次数是不是一定小于(k)？
考虑能否证明。我们将序列分成(LL,RR,LR,RL)四种合法的子序列（第一个字符表示序列开始是什么，第二个字符表示序列末尾是什么，因为只需要关心首尾字符），假设四种子序列分别有(a,b,c,d)个。首先有(|a-b|leq1)。
然后我们可以用不超过(a+b-1)步将所有(LL,RR)合并成一个序列，这个序列可能是四种中的任意一种。
还可以用不超过(c-1)步将所有(LR)合并成一个(LR)。对(RL)同理。这样我们就得到了一个(LR)和一个(RL)子序列。
如果把其中一个子序列的最后一个字符给另一个，就可以变成一个(LL)和一个(RR)，且不会增加次数。
那么不论刚开始(LL,RR)合并出的子序列是哪种，都可以用不超过两步拼接上剩下的两个子序列。
这样最多使用(a+b-1+c-1+d-1+2=k-1)步。这样就证明了，如果我们能能将序列划分成(k)个合法子序列，一定可以构造方案使得最多往回走(k-1)次。（可是我还是觉得有点迷...）

现在的问题是怎么讲序列划分成尽量少的合法子序列。
我们发现可以跑最小路径覆盖（每个(L/R)向它后面所有(R/L)连边，(n-最大匹配数)就是答案）（图在官方题解里有）。
但还可以发现这个匹配实际上可以直接贪心，每个字符选它能匹配的点中最靠前的匹配即可。因为一定可以调整最大匹配使得满足这种贪心。
那么复杂度就是(O(n))的了。

具体做的时候，可以拿个栈模拟一下拼接...（菜到不会写.jpg）

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//46ms	1900KB
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define AE(u,v) nxt[u]=v, pre[v]=u
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int top,pre[N],nxt[N];
std::queue<int> q[2];
char s[N];
struct Node
{
	int l,r;
}sk[N];

bool Maintain()
{
	if(top<=1) return 0;
	Node a=sk[top],b=sk[top-1];
	if(s[a.r]!=s[b.l])
	{
		AE(a.r,b.l), sk[--top]=(Node){a.l,b.r};
		return 1;
	}
	if(s[a.l]!=s[b.r])
	{
		AE(b.r,a.l), sk[--top]=(Node){b.l,a.r};
		return 1;
	}
	if(s[a.l]!=s[b.l])//LR RL
	{
		if(a.r>b.r) std::swap(a,b);
		int p=pre[b.r];
		AE(a.r,b.r), AE(b.r,b.l), nxt[p]=0, sk[--top]=(Node){a.l,p};
		return 1;
	}
	return 0;
}

int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	const int n=strlen(s+1);
	for(int i=1,c; i<=n; q[c^1].push(i++))
		if(!q[c=s[i]=='L'].empty()) AE(q[c].front(),i), q[c].pop();
	int ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		if(!pre[i])
		{
			++ans;
			int p=i; while(nxt[p]) p=nxt[p];
			sk[++top]=(Node){i,p};
			while(Maintain());
		}
	printf("%d
",ans-1);
	for(int x=sk[1].l; x; x=nxt[x]) printf("%d ",x);

	return 0;
}