[蓝桥杯] 最大比例
峰值内存消耗 < 256M CPU消耗 < 3000ms
【题目描述 - Problem Description】
X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。
比如： 16,24,36,54
其等比值为：3/2
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。
输入格式：
第一行为数字N(N<=100)，表示接下的一行包含N个正整数
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额
要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数
测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。
| 输入 | 3 1250 200 32 |
4 3125 32 32 200 |
3 549755813888 524288 2 |
| 输出 | 25/4 | 5/2 | 4/1 |
【题解】
等比数列求公比，Xi < 10^12
先对各项排序，两两相除并约分，只要保证每次计算结果大于1，最后剩下的就是最大公比。
N=100，O(N*N)还算可以接受。
需要注意去重，以及公比为1的情况。
数据范围10^12看起来诚惶诚恐，直接钦定long long可能会有人担心出现10^24的情况，（因为强迫症）于是就写了简单的证明……
设等比数列通项：
由于都是整数项，遇到分数形式的公比必然为整除。
因此z, m < 10^12
在第一轮除法中，首项被消除，只留下公比的任意次幂，小于1则分子分母互换。
运算中由于GCD的存在：
因此在第一轮的计算峰值不会超过10^12次方
在第2~n轮的计算中，由于去除了不确定的首项，可以把通项转化如下（其实一开始去掉首项也一样）：
两两相除时：
很遗憾，计算峰值还是无法超过10^12
【代码 C++】
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 struct fs { 4 __int64 fz, fm; 5 bool operator == (const fs &B)const { 6 if (B.fz != fz || B.fm != fm) return 0; 7 return 1; 8 } 9 }data[105]; 10 __int64 rd[105]; 11 __int64 GCD(__int64 a, __int64 b) { 12 __int64 c; 13 while (c = a%b) a = b, b = c; 14 return b; 15 } 16 fs slv(fs a, fs b) { 17 if (a == b) return a; 18 __int64 gcd; 19 gcd = GCD(a.fz, b.fz); 20 a.fz /= gcd; b.fz /= gcd; 21 gcd = GCD(a.fm, b.fm); 22 a.fm /= gcd; b.fm /= gcd; 23 a.fz *= b.fm; 24 b.fz *= a.fm; 25 if (a.fz > b.fz) a.fm = b.fz; 26 else a.fm = a.fz, a.fz = b.fz; 27 return a; 28 } 29 int main() { 30 int i, j, n; 31 scanf("%d", &n); 32 for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%I64d", rd + i), data[i].fm = 1; 33 std::sort(rd, rd + n); 34 for (i = j = 0; i < n; ++i) if (rd[i] != rd[i + 1]) data[j++].fz = rd[i]; 35 for (n = j - 1; n; --n) { 36 for (i = 0; i < n; ++i) data[i] = slv(data[i], data[i + 1]); 37 } 38 if (j == 1) puts("1/1"); 39 else printf("%I64d/%I64d", data[0].fz, data[0].fm); 40 return 0; 41 }