Bzoj4558 [JLoi2016]方

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Description

上帝说，不要圆，要方，于是便有了这道题。由于我们应该方，而且最好能够尽量方，所以上帝派我们来找正方形

上帝把我们派到了一个有N行M列的方格图上，图上一共有(N+1)×(M+1)个格点，我们需要做的就是找出这些格点形

成了多少个正方形（换句话说，正方形的四个顶点都是格点）。但是这个问题对于我们来说太难了，因为点数太多

了，所以上帝删掉了这(N+1)×(M+1)中的K个点。既然点变少了，问题也就变简单了，那么这个时候这些格点组成

了多少个正方形呢？

Input

第一行三个整数 N, M, K， 代表棋盘的行数、 列数和不能选取的顶点个数。 保证 N, M >= 1， K <=(N + 1) ×

(M + 1)。约定每行的格点从上到下依次用整数 0 到 N 编号，每列的格点依次用 0到 M 编号。接下来 K 行，每

行两个整数 x,y 代表第 x 行第 y 列的格点被删掉了。保证 0 <=x <=N<=10^6, 0 <=y<=M<=10^6，K<=2*1000且不

会出现重复的格点。

Output

 仅一行一个正整数， 代表正方形个数对 100000007（ 10^8 + 7） 取模之后的值

Sample Input

2 2 4
1 0
1 2
0 1
2 1

Sample Output

1

HINT

Source

数学问题 容斥

不考虑坏点限制，枚举正方形的长度即可算出所有正方形的数量。

ans=总数-至少有一个坏点的正方形+至少有两个坏点的正方形-至少有三个坏点的正方形+至少有四个坏点的正方形

枚举两个坏点作为正方形顶点，可以算出另外两个顶点的坐标，用hash可以判断两顶点是不是坏点，从而累计后三部分答案。

至少有一个坏点的正方形怎么求？

假设这个坏点在一个正方形的边上，枚举正方形的长度，综合考虑四个方向的长度限制，可以计算出方案数。

前半个小时看错题，以为求内部没有坏点的正方形方案数，一脸懵X

推错一次式子，又删了代码从头开始写……

各种心累。

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e8+7;
const int mxn=10010;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int hsmod=100007;
struct hs_eg{LL z;int nxt;}e[mxn<<1];
int hd[hsmod+2],Hct=0;
void hs_insert(LL x){
    int u=x%hsmod;
    for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt){if(e[i].z==x)return;}
    e[++Hct].z=x;e[Hct].nxt=hd[u];hd[u]=Hct;return;
    return;
}
int hs_find(LL x){
    int u=x%hsmod;
    for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)if(e[i].z==x)return 1;
    return 0;
}
//
int n,m,K;
int x[mxn],y[mxn];
LL ans;
int Calc(int lenU,int lenD,int lenR){
    LL res=-min(lenU,lenR);
    res=res+min(lenR,lenU+lenD);
    int r1=lenU,r2=lenD,r3=lenR;
    if(r1>r2)swap(r1,r2);
    if(r3<=r1)return ((LL)res+r3*(LL)(r3+1)/2)%mod;
    res=((LL)res+r1*(LL)(r1+1)/2)%mod;
    if(r3<=r2)return ((LL)res+r1*(LL)(r3-r1)%mod)%mod;
    res=((LL)res+r1*(LL)(r2-r1)%mod)%mod;
    if(r3<=r1+r2) return (res+(LL)(r3-r2)*r1-(LL)(r3-r2)*(r3-r2+1)/2)%mod;
    res=(res+(LL)r1*(r1-1)/2)%mod;
    return res;
}
//
int res2=0,res3=0,res4=0;
inline bool check(int x,int y){
    return (x>=0 && x<=n && y>=0 && y<=m);
}
void UPD(int x1,int y1,int x2,int y2){
    if(check(x1,y1) && check(x2,y2)){
        bool flag1=0,flag2=0;
        res2++;
        if(hs_find((LL)x1*(m+1)+y1))flag1=1;//,printf("(%d %d %lld)
",x1,y1,(LL)x1*m+y1);
        if(hs_find((LL)x2*(m+1)+y2))flag2=1;//,printf("(%d %d %lld)
",x2,y2,(LL)x2*m+y2);
        if(flag1)res3++;if(flag2)res3++;
        if(flag1 & flag2)res4++;
    }
    return;
}
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j;
    n=read();m=read();K=read();
    for(i=1;i<=K;i++){
        x[i]=read();y[i]=read();
        hs_insert((LL)x[i]*(m+1)+y[i]);
    }
    int ed=min(n,m);
    for(i=1;i<=ed;i++)ans=((LL)ans+i*(LL)(n-i+1)%mod*(m-i+1))%mod;//total
    //
    LL res=0;
    //Calc1
    for(i=1;i<=K;i++){
        res=0;
        res=res+Calc(x[i],n-x[i],y[i]);
        res=(res+Calc(n-x[i],x[i],m-y[i]))%mod;
        res=(res+Calc(y[i],m-y[i],n-x[i]))%mod;
        res=(res+Calc(m-y[i],y[i],x[i]))%mod;
        ans=(ans-res+mod)%mod;
    }
    //Calc2 3 4
    for(i=1;i<K;i++){
        for(j=i+1;j<=K;j++){
                int tmpx=x[j]-x[i];
                int tmpy=y[j]-y[i];
                UPD(x[i]+tmpy,y[i]-tmpx,x[j]+tmpy,y[j]-tmpx);
                UPD(x[i]-tmpy,y[i]+tmpx,x[j]-tmpy,y[j]+tmpx);
                if(abs(tmpx+tmpy)&1)continue;
                tmpy=(tmpx+tmpy)>>1;
                tmpx-=tmpy;
                UPD(x[i]+tmpx,y[i]+tmpy,x[j]-tmpx,y[j]-tmpy);
        }
    }//
//    printf("ans:%lld
",ans);
//    printf("%d %d %d
",res2,res3/3,res4/6);
    ans=(((LL)ans+res2-res3/3+res4/6)%mod+mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}