Bzoj4870 [SXOI2017]组合数问题

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Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r，所有整数含义见问题描述。

1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

HINT

 

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

数学问题 组合数

震惊！考场上花式骗分竟然可以拿到80分！

正解：

　　这个东西当然没有什么既成的公式，需要用DP推公式，和平常的公式推DP正好反过来了。

　　发现这个式子的项覆盖了nk内所有%k==r的位置，那么可以考虑这个式子的组合意义——

　　在全部nk个物品中，选出任意个物品使得选出的物品数%k==r的方案数！

　　设f[考虑到第i个物品][选出数量%k==j]=方案数，于是变成了可以$O(n^3)$推出来的背包问题？

　　还可以更加简单粗暴，$f[2n][(i+j)%k]=sum f[n][i]*f[n][j] $ $O(n^2 logn)$倍增出解。

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=100010;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10-'0'+ch;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,P,k,r;
struct num{
    int x[52];
    void init(){
        memset(x,0,sizeof x);
    }
}f;
num calc(const num &a,const num &b){
    num res;
    res.init();
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            (res.x[(i+j)%k]+=(LL)a.x[i]*b.x[j]%P)%=P;
    return res;
}
num ksm(num a,LL t){
    num res;
    res.init();res.x[0]=1;
    while(t){
        if(t&1)res=calc(res,a);
        a=calc(a,a);
        t>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    int i,j;
    n=read();P=read();k=read();r=read();
    f.x[0]=1;
    f.x[1%k]+=1;
    f=ksm(f,(LL)n*k);
//    for(i=0;i<=k;i++)printf("%d
",f.x[i]);
    printf("%d
",f.x[r]);
    return 0;
}