Bzoj1697 [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序

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Description

农夫JOHN准备把他的 N（1 <= N <= 10,000）头牛排队以便于行动。因为脾气大的牛有可能会捣乱，JOHN想把牛按脾气的大小排序。每一头牛的脾气都是一个在1到100，000之间的整数并且没有两头牛的脾气值相同。在排序过程中，JOHN 可以交换任意两头牛的位置。因为脾气大的牛不好移动，JOHN需要X+Y秒来交换脾气值为X和Y的两头牛。 请帮JOHN计算把所有牛排好序的最短时间。

Input

第1行： 一个数， N。

第2~N+1行： 每行一个数，第i+1行是第i头牛的脾气值。

Output

第1行： 一个数，把所有牛排好序的最短时间。

Sample Input

3
2
3
1

输入解释：

队列里有三头牛，脾气分别为 2，3， 1。

Sample Output

7

输出解释：
2 3 1 : 初始序列
2 1 3 : 交换脾气为3和1的牛(时间=1+3=4).
1 2 3 : 交换脾气为1和2的牛(时间=2+1=3).

HINT

 

Source

Gold

数学问题 置换群

“初始状态某位置的牛”和“排序后状态的对应位置的牛”显然是在同一个置换里的

找出置换群，对于每个环，最优换法肯定是用代价最小的那个点把其他点换到正确位置上。

这样做的代价是sum（环内脾气总和）-mini（最小的脾气）+(num(环内结点数量)-1)*mini

但是还有另一种情况，就是从置换群外面找一头脾气更小的牛进来，把所有点归位，再把它换出去

这样做的代价是sum+mini+num*MIN(所有牛中脾气最小的)

两者取最小即可

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int mxn=100010;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,mini=1e9;
int a[mxn],b[mxn];
int vl[mxn],id[mxn];
//
int sum[mxn],mi[mxn],sz[mxn],cnt;
bool vis[mxn];
void solve(int x){
    sum[++cnt]=a[x];mi[cnt]=a[x];sz[cnt]=1;
    vis[x]=1;int t=id[x];
    while(!vis[t]){
        vis[t]=1;
        sum[cnt]+=a[t];
        mi[cnt]=min(mi[cnt],a[t]);
        sz[cnt]++;
        t=id[t];
    }
    return;
}
int main(){
    int i,j;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[i]=a[i],mini=min(mini,a[i]);
    sort(b+1,b+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++){
        vl[b[i]]=i;
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        id[i]=vl[a[i]]; 
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(!vis[i])solve(i);
    }
    int ans=0;
    for(i=1;i<=cnt;i++){
//      printf("sum:%d mi:%d sz:%d
",sum[i],mi[i],sz[i]);
        ans+=min(sum[i]-mi[i]+mi[i]*(sz[i]-1),sum[i]+mi[i]+mini*(sz[i]+1));
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}