LCMSum bzoj-2226 Spoj-5971
题目大意:求$sumlimits_{i=1}^nlcm(i,n)$
注释:$1le nle 10^6$,$1le cases le 3cdot 10^5$。
想法:$sumlimits_{i=1}^nlcm(i,n)$
$=sumlimits_{i=1}^nfrac{in}{gcd(i,n)}$
$=ncdot sumlimits_{i=1}^n frac{i}{gcd(i,n)}$
$=ncdot sumlimits_{d=1}^nsumlimits_{i=1}^{n}i/d[gcd(i,n)=d]$
$=ncdot sumlimits_{d|n}sumlimits_{i=1}^{frac{n}{d}}i[gcd(i,frac{n}{d})=1]$
$=ncdot sumlimits_{d|n}sumlimits_{i=1}^{d}i[gcd(i,d)=1]$
$=ncdot sumlimits_{d|n}frac{varphi(d)cdot d}2$
$=n/2cdot sumlimits_{d|n}varphi(d)cdot d$
令$f(n)=varphi(n)cdot n$。显然是一个积性函数。所以$sumlimits_{d|n}f(d)$是一个积性函数。所以可以线筛。
最后,附上丑陋的代码... ...
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 1000010 using namespace std; typedef long long ll; const int m=1000000; int phi[N],prime[N],tot; ll f[N]; bool np[N]; int main() { int cases,n; for(int i=2;i<=m;i++) { if(!np[i]) phi[i]=i-1,prime[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=m;j++) { np[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } for(int i=2;i<=m;i++) { for(int j=i;j<=m;j+=i) { f[j]+=(ll)i*phi[i]/2; } } scanf("%d",&cases); while(cases--)scanf("%d",&n),printf("%lld ",(f[n]+1)*n); return 0; }
小结:这种题推式子就好了啊qwq。