最优组队
(nle 16)
题解
看到数据范围，肯定是状压 DP .
很快有一个思路：对于每个状态，枚举其子集，进行求 Max.
有如下代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 18,M = 1<<N;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
ll ret=0;char ch=' ',c=getchar();
while(!(c>='0'&&c<='9'))ch=c,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0',c=getchar();
return ch=='-'?-ret:ret;
}
int n,m;
int dp[M];
signed main(){
n = read();
m = (1<<n) - 1;
for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
dp[i] = read();
for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
for(int j = 1 ; j <= i ; j ++)
if((i|j) == i)
dp[i] = max(dp[i],dp[j] + dp[i^j]);
printf("%d",dp[m]);
}
但是它 30 分 TLE 了。
分析其复杂度：枚举状态 (O(2^n)) ，枚举其子集又是 (O(2^n)) ，总复杂度 (O(2^{2n})=O(4^n)) .
优化
从书上发现一种枚举子集的方法：while(sub) sub = (sub-1) & S;
使用此方法，可以不重不漏地枚举出 (S) 的子状态。
【证明】由 (sub = (sub-1) And S) 可知 (sub) 每次会变小。那么我们证明区间 (egin{pmatrix}(sub-1) And S &,&subend{pmatrix}) 中不存在 (S) 的子集。设 (sub=egin{pmatrix}d_1d_2cdots d_k10cdots0end{pmatrix}_2) ，则 (sub-1=egin{pmatrix}d_1d_2cdots d_k01cdots1end{pmatrix}_2) 。由于 (sub) 是 (S) 的子集，那么 (sub-1=egin{pmatrix}d_1d_2cdots d_k00cdots0end{pmatrix}_2) 也是 (S) 的子集。因此考虑 (sub-1=egin{pmatrix}d_1d_2cdots d_k01cdots1end{pmatrix}_2 And S) ，得到的一定是 (egin{pmatrix}d_1d_2cdots d_k00cdots0end{pmatrix}_2) 与 (egin{pmatrix}d_1d_2cdots d_k10cdots0end{pmatrix}_2) 中值最大的子集。
证毕。
【关于时间复杂度】
对于 (O(2^n)) 种状态中每一个状态，都有(C_n^i)种子状态。
复杂度：(Oegin{pmatrix}sumlimits_{i=1}^n C_n^icdot2^iend{pmatrix})。
根据二项式定理：(Oegin{pmatrix}sumlimits_{i=1}^n C_n^icdot2^iend{pmatrix} = Oegin{pmatrix}sumlimits_{i=1}^n C_n^icdot2^icdot 1^{n-i}end{pmatrix} = Oegin{pmatrix}(1+2)^nend{pmatrix}).
故复杂度：(O(3^n)).
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 18,M = 1<<N;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
ll ret=0;char ch=' ',c=getchar();
while(!(c>='0'&&c<='9'))ch=c,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0',c=getchar();
return ch=='-'?-ret:ret;
}
int n,m;
int dp[M];
signed main(){
n = read();
m = (1<<n) - 1;
for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
dp[i] = read();
for(int i = 1 ; i <= m ; i ++){
int j = i;
while(j){
j = (j-1)&i;
dp[i] = max(dp[i],dp[j] + dp[i^j]);
}
}
printf("%d",dp[m]);
}