Luogu 2762 太空飞行计划 / Libre 6001 「网络流 24 题」太空飞行计划 （网络流，最大流）
Description
W 教授正在为国家航天中心计划一系列的太空飞行。每次太空飞行可进行一系列商业性实验而获取利润。现已确定了一个可供选择的实验集合E={E1,E2,…,Em}，和进行这些实验需要使用的全部仪器的集合I={ I1, I2,…,In }。实验Ej 需要用到的仪器是I的子集Rj∈I。 配置仪器Ik 的费用为ck 美元。实验Ej 的赞助商已同意为该实验结果支付pj 美元。W教授的任务是找出一个有效算法，确定在一次太空飞行中要进行哪些实验并因此而配置哪些仪器才能使太空飞行的净收益最大。这里净收益是指进行实验所获得的全部收入与配置仪器的全部费用的差额。
对于给定的实验和仪器配置情况，编程找出净收益最大的试验计划。
Input
第1行有2个正整数m和n(m,n <= 100)。m是实验数，n是仪器数。
接下来的m行，每行是一个实验的有关数据。第一个数赞助商同意支付该实验的费用；接着是该实验需要用到的若干仪器的编号。最后一行的n个数是配置每个仪器的费用。
Output
第1行是实验编号；第2行是仪器编号；最后一行是净收益。
Sample Input
2 3
10 1 2
25 2 3
5 6 7
Sample Output
1 2
1 2 3
17
Http
Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2762
Libre:https://loj.ac/problem/6001
Source
网络流，最大流
解决思路
这道题要把其转换到网络流模型上不是很好理解。
首先我们来看一看构图
对于每一个实验，从源点到实验连一条流量为赞助商支付的钱的边；对于每一个仪器，从仪器到汇点连一条流量为仪器花费的边。对于每一个实验所需要的仪器，在实验与仪器之间连一条流量无穷大的边。在这张图上跑一边最大流，就可以得到最小的花费，再用总赞助商的支付钱减去这个花费即可。
为什么这样是对的呢？
从源点到实验的边保证了赞助商资助该实验不会超过赞助商的钱，而从仪器到汇点的边则保证了仪器最多只会花费掉这么多的钱
那么最后如何统计答案呢？
由于我们使用的是Dinic求最大流，那么我们可以直接借助层次图的depth数组来求解。因为最后要选取的实验必须是盈利的，所以从源点到盈利的实验的边一定一不满流的，那么也就是说在最后一遍bfs中一定会分配深度，那么我们只要找出depth不为0的实验即可。
同时，由于如果选择做某个实验就要花费其所有需要的仪器，我们可以在求出选择的实验的同时标记出要选择的仪器，最后再输出即可。
另：关于Dinic算法，请移步我的这篇文章
注：Libre的字符串读入似乎有些问题，容易出现RE
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxN=1000;
const int maxM=maxN*maxN*4;
const int inf=147483647;
class Edge
{
public:
int v,flow;
};
int n,m;
int cnt=-1;
int Head[maxN];
int Next[maxM];
Edge E[maxM];
int depth[maxN];
int cur[maxN];
int Q[maxM];
bool chose[maxN];//标记某个仪器是否被选择
char str[maxM];//读入时要用到的字符串
void Add_Edge(int u,int v,int flow);
bool bfs();
int dfs(int u,int flow);
int main()
{
int sum=0;
memset(Head,-1,sizeof(Head));
scanf("%d%d",&m,&n);
char ch=getchar();
while (ch!='
')
ch=getchar();
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int v;
scanf("%d",&v);
Add_Edge(0,i,v);//连接源点与实验
sum+=v;
memset(str,0,sizeof(str));
cin.getline(str,maxM);
int j=0;
while(sscanf(str+j,"%d",&v)==1)//注意这里的读入
{
if(!v)
j++;
else
Add_Edge(i,v+m,inf);//连接实验与仪器
while(v)
v/=10,j++;
j++;
}
}
/*
for (int i=1;i<=m;i++)//这是原来的字符串读入，会RE，有时还WA
{
int v;
scanf("%d",&v);
sum+=v;
Add_Edge(0,i,v);
ch=getchar();
do
{
while (((ch>'9')||(ch<'0'))&&(ch!='
'))
ch=getchar();
if (ch=='
')
break;
v=0;
while ((ch>='0')&&(ch<='9'))
{
v=v*10+ch-48;
ch=getchar();
}
///mcnt++;
Add_Edge(i,v+m,inf);
}
while (1);
}*/
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int v;
scanf("%d",&v);
Add_Edge(i+m,n+m+1,v);//连接仪器与汇点
}
int Flow=0;
while (bfs())//Dinic
{
for (int i=0;i<=n+m+1;i++)
cur[i]=Head[i];
while (int di=dfs(0,inf))
Flow+=di;
}
memset(chose,0,sizeof(chose));
for (int i=1;i<=m;i++)//找出选择的实验
if (depth[i]!=-1)
{
printf("%d ",i);
for (int j=Head[i];j!=-1;j=Next[j])//同时标记要选择的仪器
chose[E[j].v-m]=1;
}
cout<<endl;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (chose[i]==1)
printf("%d ",i);
cout<<endl;
cout<<sum-Flow<<endl;
return 0;
}
void Add_Edge(int u,int v,int flow)//添加边
{
cnt++;
Next[cnt]=Head[u];
Head[u]=cnt;
E[cnt].v=v;
E[cnt].flow=flow;
cnt++;
Next[cnt]=Head[v];
Head[v]=cnt;
E[cnt].v=u;
E[cnt].flow=0;
return;
}
bool bfs()//构建层次图
{
memset(depth,-1,sizeof(depth));
int h=1,t=0;
Q[1]=0;
depth[0]=1;
do
{
t++;
int u=Q[t];
for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
{
int v=E[i].v;
if ((E[i].flow>0)&&(depth[v]==-1))
{
depth[v]=depth[u]+1;
h++;
Q[h]=v;
}
}
}
while (h!=t);
if (depth[n+m+1]==-1)
return 0;
return 1;
}
int dfs(int u,int flow)//增广
{
if (u==n+m+1)
return flow;
for (int &i=cur[u];i!=-1;i=Next[i])
{
int v=E[i].v;
if ((E[i].flow>0)&&(depth[v]==depth[u]+1))
{
int di=dfs(v,min(flow,E[i].flow));
if (di>0)
{
E[i].flow-=di;
E[i^1].flow+=di;
return di;
}
}
}
return 0;
}