Luogu 2245 星际导航（最小生成树，最近公共祖先LCA，并查集）

Luogu 2245 星际导航（最小生成树，最近公共祖先LCA，并查集）

Description

sideman做好了回到Gliese 星球的硬件准备，但是sideman的导航系统还没有完全设计好。为了方便起见，我们可以认为宇宙是一张有N 个顶点和M 条边的带权无向图，顶点表示各个星系，两个星系之间有边就表示两个星系之间可以直航，而边权则是航行的危险程度。

sideman 现在想把危险程度降到最小，具体地来说，就是对于若干个询问(A, B)，sideman 想知道从顶点A 航行到顶点B 所经过的最危险的边的危险程度值最小可能是多少。作为sideman 的同学，你们要帮助sideman 返回家园，兼享受安全美妙的宇宙航行。所以这个任务就交给你了。
对于40% 的数据，满足N≤1000，M≤3000，Q≤1000。

对于 80% 的数据，满足$$N≤10^4，M≤10^5，Q≤1000。$$

对于 100% 的数据，满足$$N≤10^5，M≤3×10^5，Q≤10^5，L≤10^9。$$数据不保证没有重边和自环。

Input

第一行包含两个正整数N 和M，表示点数和边数。

之后 M 行，每行三个整数A，B 和L，表示顶点A 和B 之间有一条边长为L 的边。顶点从1 开始标号。

下面一行包含一个正整数 Q，表示询问的数目。

之后 Q 行，每行两个整数A 和B，表示询问A 和B 之间最危险的边危险程度的可能最小值。

Output

对于每个询问， 在单独的一行内输出结果。如果两个顶点之间不可达， 输出impossible。

Sample Input

4 5
1 2 5
1 3 2
2 3 11
2 4 6
3 4 4
3
2 3
1 4
1 2

Sample Output

5
4
5

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2245#sub

Source

最小生成树，最近公共祖先LCA，并查集

题目大意

在一张无向图上，求两点之间的一条路径使得路径上最大边权最小。

解决思路

笔者曾说过这种求最大值最小或最小值最大的问题多半是二分。
但这题不是的！

要解决这一题，首先要想明白的是为什么最后的解一定在该图的最小生成树上。（这个留给读者自己思考啦，虽然说确实看起来是的，但如何准确地证明呢？这是需要思考的）

然后我们就可以对要查询的两个点进行LCA啦。关于LCA的基本算法（倍增）请到我的这篇文章查看。

那么接下来的问题是，我们虽然求出了最近公共祖先，但我们并不知道这条路上的最大边权是多少啊？

这里我们引入一个新数组Path。Path[u][i]代表u到它的2^i祖先的路径上的最大边权。是不是觉得Path的定义与Parent有些相似呢？是的，这也是为了在倍增过程中方便地更新最后要求的值所定义的，并且它的求值与更新与Parent总是在一起的，过程也很类似，相信如果读者已经了解了LCA中Parent数组的求法，不难推导出Path的求法。

程序中要添加求Path数组的地方有两处
一是在dfs过程中，在得出Parent[v][0]的值得同时可以得出Path[v][0]=W[u][v]（W[u][v]代表u-v这条边上的权值）
二是在for循环求Parent[i][j]=Parent[Parent[i][j-1]][j-1]时，同样可以递推出Path[i][j]=max(Path[i][j-1],Path[Parent[i][j-1]][j-1])，即i到2^j祖先路径上的最大值等于i到2^(j-1)上的最大值和i的2^(j-1)祖先到i的2^(j-1)祖先的2^(j-1)祖先的最大值这两者中的最大值。（有点绕，多读几遍就好了）

最后，在进行倍增上翻的过程中，每次更新a与b的值的同时，记录下最大的路径就可以了。

如果还有不理解，请结合下面的代码分析。

PS:话说这题是不是和货车运输进行了**交易

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

class Edge1
{
public:
    int v,w;
};

class Edge2
{
public:
    int u,v,w;
};

bool operator < (Edge2 a,Edge2 b)
{
    return a.w<b.w;
}

const int maxN=100010;
const int maxM=300010;
const int inf=2147483647;

int n,m;
Edge2 E[maxM];
vector<Edge1> T[maxN];
//Union_Find_Set
int Mayuri[maxN];
//LCA
int Parent[maxN][25];
int Path[maxN][25];
int Depth[maxN];
bool vis[maxN];

int read();
void MST();
int Find(int u);
bool Union(int u,int v);
void LCA_init();
void dfs(int u);
int LCA(int a,int b);

int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        E[i].u=read();
        E[i].v=read();
        E[i].w=read();
    }
    MST();//求最小生成树
    LCA_init();//LCA的各种信息初始化
    int Q=read();
    for (int i=1;i<=Q;i++)
    {
        int x=LCA(read(),read());
        if (x==-1)
            cout<<"impossible"<<endl;//注意无解的情况，即这两点不连通，可以用并查集判断
        else
            cout<<x<<endl;
    }
    return 0;
}

int read()//读入优化
{
    int x=0;
    int k=1;
    char ch=getchar();
    while (((ch<'0')||(ch>'9'))&&(ch!='-'))
        ch=getchar();
    if (ch=='-')
    {
        k=-1;
        ch=getchar();
    }
    while ((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
        x=x*10+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x*k;
}

void MST()//求最小生成树，这里用克鲁斯卡尔算法
{
    sort(&E[1],&E[m+1]);
    for (int i=1;i<=n;i++)//并查集初始化
        Mayuri[i]=i;
    int cnt=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=E[i].u;
        int v=E[i].v;
        int w=E[i].w;
        if (Union(u,v))
        {
            T[u].push_back((Edge1){v,w});
            T[v].push_back((Edge1){u,w});
            cnt++;
            if (cnt==n-1)
                break;
        }
    }
    return;
}

int Find(int u)
{
    if (Mayuri[u]!=u)
        Mayuri[u]=Find(Mayuri[u]);
    return Mayuri[u];
}

bool Union(int u,int v)
{
    int fu=Find(u);
    int fv=Find(v);
    if (fu!=fv)
    {
        Mayuri[fu]=fv;
        return 1;
    }
    return 0;
}

void LCA_init()
{
    memset(Parent,0,sizeof(Parent));
    memset(Path,0,sizeof(Path));
    memset(Depth,0,sizeof(Depth));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dfs(1);
    for (int j=1;j<=20;j++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            Parent[i][j]=Parent[Parent[i][j-1]][j-1];
            Path[i][j]=max(Path[i][j-1],Path[Parent[i][j-1]][j-1]);//同时求解Path
        }
    return;
}

void dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    for (int i=0;i<T[u].size();i++)
    {
        int v=T[u][i].v;
        if (vis[v]==0)
        {
            Depth[v]=Depth[u]+1;
            Parent[v][0]=u;
            Path[v][0]=T[u][i].w;//记录Path的初值
            dfs(v);
        }
    }
}

int LCA(int a,int b)
{
    if (Find(a)!=Find(b))
    {
        return -1;
    }
    int max_path=0;
    if (Depth[a]<Depth[b])
        swap(a,b);
    for (int i=20;i>=0;i--)
        if ((Parent[a][i]!=0)&&(Depth[Parent[a][i]]>=Depth[b]))
        {
            max_path=max(max_path,Path[a][i]);//同时更新当前的最大边权
            a=Parent[a][i];
        }
    if (a==b)
        return max_path;
    for (int i=20;i>=0;i--)
        if ((Parent[a][i]!=0)&&(Parent[b][i]!=0)&&(Parent[a][i]!=Parent[b][i]))
        {
            max_path=max(max_path,Path[a][i]);//这里也是更新当前的最大边权
            max_path=max(max_path,Path[b][i]);
            a=Parent[a][i];
            b=Parent[b][i];
        }
    max_path=max(max_path,Path[a][0]);//最后要注意再与Path[a][0]和Path[b][0]比较一下，因为在原来的LCA中，公共祖先是Parent[a][0]或Parent[b][0]
    max_path=max(max_path,Path[b][0]);
    return max_path;
}