算法导论精华总结 ~ 图算法

图的定义

　　G=(V,E)

　　G代表图

　　V代表|V|为结点数

　　E代表|E|为边的条数

图的表示

 　　

　　图的常规标准表示方式有两种，一种是邻接链表、一种是邻接矩阵。

　　在稀疏图中多用链表，稠密图中多用矩阵。（稀疏与稠密看的是|E|与|V|的2次方的比较，|E|远远小于|V|的2次方为稀疏图）

　　邻接链表的一大缺点是无法快速判断一条边是否是图中的，唯一的办法是搜索结点找边。

　　图规模比较小时，更倾向于使用邻接矩阵表示法。

 广度优先搜索

　　Prim的最小生成树算法和Dijkstra的单源最短路径算法都用了广度优先搜索。

　　

深度优先搜索

最小生成树

　　无向图中的最小权重树为最小生成树

　　定义：在连通无向图G=(V,E)中找到一个无环子集T属于E，既能够将所有的结点（针脚）连接起来，又具有最小的权重。由于T是无环的，并且连通所有结点，因此，T必然是一棵树。我们称之为最小生成树。

Kruskal算法和Prim算法

　　这两个算法都是最小生成树算法

Kruskal算法

　　每次找最小的边，看是否在同一个树里（边（u，v）中u和v都在树里则为不安全）

　　用的贪心策略

　　下面为伪代码和解释

MST-KRUSKAL(G,w)
    A=null
    for each vertex v∈G.V
        MAKE-SET(v) //初始化树根
    sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
    for each edge(u,v)∈G.E, take in nondecreasing order by weight //循环边（最小权到最大权）
        if FIND-SET(u) != FIND-SET(v) //u与v是否同一棵树
            A=AU{(u,v)} //A中加入边（u，v）
            UNION(u,v) //两棵树中的结点合并
    return A

Prim算法

　　从一个点开始贪心其中最小的权边加入树中

　　下面为伪代码

MST-PRIM(G,w,r)
    for each u∈G.V                      //初始化每个结点u属于G.V
        u:key = 无限                     //u.key=无穷
        u:π = NIL                       //u.π=空
    r:key = 0;                          //根点的最小权为0
    Q=G.V                               //最小优先队列初始化为G.V
    while Q != null
        u=EXTRACT-MIN(Q)         　　　　//找Q中最小权点赋值给u
        for each v∈G.Adj[u]          　 //循环与u相连的点v
        if v∈Q and w(u,v) < v.key 　　　//如果v属于Q 点u的权值加上边(u,v)的权值小于v.key
            v.π = u                    //v点的父结点 = u
            v.key = w(u,v)             //v点的权值 = 点u的权值加上边(u,v)的权值

单源最短路径

　　定义：给定一个图G=（V,E），我们希望找到从给定源结点s∈V到每个结点v∈V的最短路径。

　　几个变体问题：

　　　　1）单目的地最短路径问题：每个结点v到给定目的地点的最短路径

　　　　2）单结点对最短路径问题：结点u到结点v的最短路径

　　　　3）所有结点对最短路径问题：对于每个结点u和v，找到其最短路径

最短路径的最优子结构

　　两个结点之间的一条最短路径包含着其他的最短路径（最短路径的子路径也是最短路径）。

最短路径的表示

　　用前驱子图的表示方法，具体形式为每个结点开辟一个空间存储它的上一结点。（其实另开辟一个数组也是可以的）

松弛操作

　　松弛技术：对于每个结点v来说，我们维持一个属性v.d，用来记录从源结点s到结点v的最短路径权重的上界。我们称v.d为s到v的最短路径估计。

　　松弛过程：v结点本身有一个最短估计值为v.d，又找到一条到v的路径把权值跟v.d进行比较，如果后者小，则更新v.d和v.π。

　　以下是伪代码

PELAX(u,v,w)
    if v.d > u.d + w(u,v) //如果新路径权值小于原来的估算权值
        v.d = u.d + w(u,v) //估算权值被更新
        v.π = u //前驱更新

Bellman-Ford算法

　　注意：此算法可处理边权值为负值的情况，此算法可判断出负值成环的存在。

　　以下为伪代码

BELLMAN-FORD(G,w,s)

    INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s) //初始化图

    for i = 1 to |G.V| - 1 //循环全部结点
        for each edge(u,v)∈G.E //循环每个结点所连边
            RELAX(u,v,w) //松弛操作
    
    for each edge(u,v)∈G.E //循环每条边
        if v.d > u.d + w(u,v) //测试是否还能松弛，从而找到环
            return FALSE //如果能松弛，则返回False

    return TRUE //运行正确放回True

有向无环图的单源最短路径问题

　　根据结点的拓扑排序次序来对带权重的有向无环图G=（V，E）进行边的松弛。

　　注意：1.如果源结点s不是拓扑排序后的第一个结点，直到找到源结点s前的所有结点可以无视。

　　　　　2.边权非负

　　以下是伪代码

DAG-SHORTEST-PATHS(G,w,s)
    topologically sort the vertices of G //拓扑排序图G
    INITALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s) //初始化G，并设源点s
    for each vertex u, taken in topologically sorted order //按拓扑排序后结点顺序循环结点
        for each vertex v∈G.Adj[u] //循环结点所连边
            RELAX(u,v,w) //松弛操作

Dijkstra算法

　　解决带权重的有向图上单源最短路径问题

　　注意：1.边权非负

　　　　　2.Dijkstra算法比Bellman-Ford算法运行速度快。

　　算法核心思想：重复从结点集V-S中选择最短路径估计最小的结点u，加入集合S，对从u出发的边进行松弛。（V为全部结点集合，S为已使用结点集合）

 　　以下是伪代码

DIJKSTRA(G,w,s)
    INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s) //初始化图G，设源点s
    S=空 //初始化集合S为空
    Q=G.V //初始化集合Q，为V
    while Q != 空
        u = EXTRACT-MIN(Q) //找出Q中最小估算结点，赋值给u，并在Q中删除
        S = S U {u} //将结点u加入集合S中
        for each vertex v∈G.Adj[u] //循环与u相连的每个点
            RELAX(u,v,w) //松弛操作