• luogu题解 P4092 【[HEOI2016/TJOI2016]树】树链剖分

    • 题目链接：

      https://www.luogu.org/problemnew/show/P4092

    • 瞎扯--(O(Q log^3 N))解法

      这道先yy出了一个(O(Q log^3 N)),的做法，先树链剖分。

      对于加标记操作，找到那个点所在的链，将其(top)标记一下，然后该点到根节点区间和+1.

      对于查询操作，先看这个点所在链有没有标记，如果没有，就一直向上跳直到找到一条标记了的链，然后在那条链上根据到根节点区间和进行倍增/二分

      然后出去吃饭的时候忽然想到了(O(Q log^2 N))的解法,于是刚刚这个解法刚打完还没有查错，放在这做一个参考

      代码：

    include

    include

    include

    include

    include

    include

    include

    define ll long long

    define ri register int

    using namespace std;
    const int maxn=100005;
    const int inf=0x7fffffff;
    template inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))ne=c'-';
    x=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;
    return ;
    }
    int n,q;
    struct Edge{
    int ne,to;
    }edge[maxn<<1];
    int h[maxn],num_edge=0;
    inline void add_edge(int f,int t){
    edge[++num_edge].ne=h[f];
    edge[num_edge].to=t;
    h[f]=num_edge;
    return ;
    }
    int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],cnt=0;
    void dfs_1(int now){
    int v;size[now]=1;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
    v=edge[i].to;
    if(v    fa[now])continue;
    fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;
    dfs_1(v);
    size[now]+=size[v];
    if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
    }
    return ;
    }
    void dfs_2(int now,int t){
    int v;top[now]=t;
    dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;
    if(!son[now])return ;
    dfs_2(son[now],t);
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
    v=edge[i].to;
    if(vfa[now]||vson[now])continue;
    dfs_2(v,v);
    }
    return ;
    }
    int sum[maxn<<2],tag[maxn<<2],L,R,dta,ok[maxn];
    void build(int now,int l,int r){
    if(lr){
    sum[now]=ok[rnk[l]];
    return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(now<<1,l,mid);
    build(now<<1|1,mid+1,r);
    return ;
    }
    void pushdown(int now,int ln,int rn){
    if(tag[now]){
    sum[now<<1]+=tag[now]ln;
    sum[now<<1|1]+=tag[now]    rn;
    tag[now<<1]+=tag[now];
    tag[now<<1|1]+=tag[now];
    tag[now]=0;
    }
    return ;
    }
    void update(int now,int l,int r){
    if(L<=l&&r<=R){
    sum[now]+=dta*(r-l+1);
    tag[now]+=dta;
    return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(now,mid-l+1,r-mid);
    if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);
    if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);
    sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];
    return ;
    }
    int query(int now,int l,int r){
    if(L<=l&&r<=R){
    return sum[now];
    }
    int mid=(l+r)>>1,ans=0;
    pushdown(now,mid-l+1,r-mid);
    if(L<=mid)ans+=query(now<<1,l,mid);
    if(mid<R)ans+=query(now<<1|1,mid+1,r);
    sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];
    return ans;
    }
    void update_path(int x,int y){
    dta=1;ok[top[x]]=1;//该条链上有一个标记的点
    while(top[x]!=top[y]){
    if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
    L=dfn[top[x]],R=dfn[x];
    update(1,1,n);
    }
    if(dfn[x]<dfn[y])swap(x,y);
    L=dfn[x],R=dfn[y];
    update(1,1,n);
    return ;
    }
    inline int solve(int x,int y){
    int tmp,val,p=0,k=1,len,ans=0;
    bool flag=0;
    while(top[x]!=top[y]){
    if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
    len=dfn[x]-dfn[top[x]];
    if(ok[top[x]]){
    L=dfn[top[x]],R=dfn[x],
    tmp=query(1,1,n);
    p=0,k=1,flag=0;
    while(k!=0){
    L=dfn[x+p+k],R=dfn[x];
    if(query(1,1,n)>tmp)flag=1,k=k>>1;
    else p=p+k,k=k<<1;
    while(p+k>len)k=k>>1;
    }
    if(flag)return ans+dfn[x+p]-dfn[x];
    }
    ans+=len;
    x=fa[top[x]];
    }
    if(dfn[x]>dfn[y])swap(x,y);
    L=dfn[x],R=dfn[y],len=dfn[y]-dfn[x];
    tmp=query(1,1,n);
    p=0,k=1;
    //cout<<y<<endl;
    if(x    y)return ans;
    while(k!=0){
    L=dfn[x+p+k],R=dfn[x];
    if(query(1,1,n)>tmp)k=k>>1;
    else p=p+k,k=k<<1;
    //if(y3)cout<<k<<' '<<p<<endl;
    while(p+k>len)k=k>>1;
    }
    return ans+dfn[x+p]-dfn[x];
    }
    int main(){
    char opt[5];
    int x,y,z;
    read(n),read(q);
    for(ri i=1;i<n;i++){
    read(x),read(y);
    add_edge(x,y);
    add_edge(y,x);
    }
    dep[1]=1,fa[1]=0;
    dfs_1(1);
    dfs_2(1,1);
    ok[dfn[1]]=1;
    build(1,1,n);
    while(q--){
    scanf("%s",opt);
    if(opt[0]    'C'){
    read(x);
    //cout<<x<<"-----"<<endl;
    update_path(1,x);
    }
    else{
    read(x);
    //cout<<x<<"***"<<endl;
    printf("%d ",solve(x,1));
    }
    }
    return 0;
    }

    
- 分析---$O(Q log^2 N)$解法

首先我想到了一个错误的解法，就是因为链是线段树上一个连续的区间，每个$[dfn[x],dfn[top[x]]]$线段树区间有个$mx$值,表示,$x$到$top[x]$路径中距离它最近标记的祖先，加标记时比较原有标记深度与新标记深度然后更新。查询的时候查询$x$到$top[x]$的区间最大之就可以了，如果没有，就一直往上跳直至找到

然而这个解法有个错误我SB地没有发现，就是你更新区间最大值时，$x$上的祖先节点也会被更新到（因为深度更小），再次感谢wjyyy和creed_两位大佬指出我的错误

正解应该是更新子树，将子树的最大值更新，查询照样，相比于我错误的代码只需改一句话

代码：

    include

    include

    include

    include

    include

    include

    include

    define ll long long

    define ri register int

    using namespace std;
    const int maxn=100005;
    const int inf=0x7fffffff;
    template inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))ne=c'-';
    x=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;
    return ;
    }
    int n,q;
    struct Edge{
    int ne,to;
    }edge[maxn<<1];
    int h[maxn],num_edge=0;
    inline void add_edge(int f,int t){
    edge[++num_edge].ne=h[f];
    edge[num_edge].to=t;
    h[f]=num_edge;
    return ;
    }
    int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],cnt=0;
    void dfs_1(int now){
    int v;size[now]=0;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
    v=edge[i].to;
    if(v    fa[now])continue;
    fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;
    dfs_1(v);
    size[now]+=size[v];
    if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
    }
    return ;
    }
    void dfs_2(int now,int t){
    int v;top[now]=t;
    dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;
    if(!son[now])return ;
    dfs_2(son[now],t);
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
    v=edge[i].to;
    if(vfa[now]||vson[now])continue;
    dfs_2(v,v);
    }
    return ;
    }
    int mx[maxn<<2],L,R,dta;
    void build(int now,int l,int r){
    if(lr){
    if(rnk[l]    1)mx[now]=1;
    else mx[now]=0;
    return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(now<<1,l,mid);
    build(now<<1|1,mid+1,r);
    if(dep[mx[now<<1]]>dep[mx[now<<1|1]]){
    mx[now]=mx[now<<1];
    }
    else mx[now]=mx[now<<1|1];
    return ;
    }
    void update(int now,int l,int r){
    if(L<=l&&r<=R){
    if(dep[mx[now]]<dep[dta]){
    mx[now]=dta;
    }
    return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);
    if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);
    if(dep[mx[now<<1]]>dep[mx[now<<1|1]]){
    mx[now]=mx[now<<1];
    }
    else mx[now]=mx[now<<1|1];
    return ;
    }
    int query(int now,int l,int r){
    if(L<=l&&r<=R){
    return mx[now];
    }
    int mid=(l+r)>>1,ans=0,tmp;
    if(L<=mid){
    int tmp=query(now<<1,l,mid);
    if(dep[ans]<dep[tmp])ans=tmp;
    }
    if(mid<R){
    int tmp=query(now<<1|1,mid+1,r);
    if(dep[ans]<dep[tmp])ans=tmp;
    }
    return ans;
    }
    void update_path(int x){
    dta=x;
    //L=R=dfn[x];
    L=dfn[x],R=dfn[x]+size[x];
    update(1,1,n);
    return ;
    }
    int query_path(int x){
    int ans=0;
    while(top[x]!=1){
    L=dfn[top[x]],R=dfn[x];
    ans=query(1,1,n);
    if(ans!=0)return ans;
    x=fa[top[x]];
    }
    L=dfn[1],R=dfn[x];
    ans=query(1,1,n);
    return ans;
    }
    int main(){
    char opt[5];
    int x,y,z;
    read(n),read(q);
    for(ri i=1;i<n;i++){
    read(x),read(y);
    add_edge(x,y);
    add_edge(y,x);
    }
    dep[0]=-1,dep[1]=1,fa[1]=0;
    dfs_1(1);
    dfs_2(1,1);
    build(1,1,n);
    while(q--){
    //cout<<q<<endl;
    scanf("%s",opt);
    if(opt[0]=='C'){
    read(x);
    update_path(x);
    }
    else{
    read(x);
    printf("%d ",query_path(x));
    }
    }
    return 0;
    }

    ```
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