我们首先来看一下什么是前向星.
前向星是一种特殊的边集数组,我们把边集数组中的每一条边按照起点从小到大排序,如果起点相同就按照终点从小到大排序,
并记录下以某个点为起点的所有边在数组中的起始位置和存储长度,那么前向星就构造好了.
用len[i]来记录所有以i为起点的边在数组中的存储长度.
用head[i]记录以i为边集在数组中的第一个存储位置.
那么对于下图:
我们输入边的顺序为:
1 2
2 3
3 4
1 3
4 1
1 5
4 5
那么排完序后就得到:
编号: 1 2 3 4 5 6 7
起点u: 1 1 1 2 3 4 4
终点v: 2 3 5 3 4 1 5
得到:
head[1] = 1 len[1] = 3
head[2] = 4 len[2] = 1
head[3] = 5 len[3] = 1
head[4] = 6 len[4] = 2
但是利用前向星会有排序操作,如果用快排时间至少为O(nlog(n))
如果用链式前向星,就可以避免排序.
我们建立边结构体为:
struct Edge
{
int next;
int to;
int w;
};
其中edge[i].to表示第i条边的终点,edge[i].next表示与第i条边同起点的下一条边的存储位置,edge[i].w为边权值.
另外还有一个数组head[],它是用来表示以i为起点的第一条边存储的位置,实际上你会发现这里的第一条边存储的位置其实
在以i为起点的所有边的最后输入的那个编号.
head[]数组一般初始化为-1,对于加边的add函数是这样的:
void add(int u,int v,int w)
{
edge[cnt].w = w;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt++;
}
初始化cnt = 0,这样,现在我们还是按照上面的图和输入来模拟一下:
edge[0].to = 2; edge[0].next = -1; head[1] = 0;
edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1;
edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2;
edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3;
edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4;
edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5;
edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6;
很明显,head[i]保存的是以i为起点的所有边中编号最大的那个,而把这个当作顶点i的第一条起始边的位置.
这样在遍历时是倒着遍历的,也就是说与输入顺序是相反的,不过这样不影响结果的正确性.
比如以上图为例,以节点1为起点的边有3条,它们的编号分别是0,3,5 而head[1] = 5
我们在遍历以u节点为起始位置的所有边的时候是这样的:
for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
那么就是说先遍历编号为5的边,也就是head[1],然后就是edge[5].next,也就是编号3的边,然后继续edge[3].next,也
就是编号0的边,可以看出是逆序的.
【存储】浅谈链式前向星
链式前向星是一种相当有效的存储方式，是一种静态的链表式存储，将前向星改写为链式前向星可以避免排序带来的复杂度（普通前向星需要排序，一般选用基数排序），以下开始讨论链式前向星。
在本文中，除非特别注明，我们都以下图作为讨论的基本依据：
对于这个图而言，有一输入顺序如下：
1 2
2 3
3 4
1 3
4 1
1 5
4 5
首先，我们先提出链式前向星的基本结构：
struct Edge2
{
int to;
int next;
int w;
};
Edge2 Edge[maxn];
对于next：
如果一个结点的出度大于1，则其中结点编号最大的结点的next将指向结点编号次之的结点。举个例子，从结点1出发，结点编号最大的是结点5，结点5的next将会是3，而结点3的next将会是结点2，而到了结点2之后结点1的所有出边都已经被处理了，所有结点2的next将会是-1，这样子将可以找到对于结点1的所有直接相接的结点（注意：遍历时结点是由大到小遍历的，即是逆序的）。当检测到next的值为-1时会退出当前遍历。
如果结点的出度为0或者小于1，则对应的next值为-1。推荐用笔在纸上模拟一次这个过程，模拟过程的数据可以在该文章后面一些的地方找到。
对于to：
简单概括来说就是对于第i条边的终点，比如说输入第一组边（1， 2）的时候，Edge[0].to = 2（数组从0开始存储）。
这里有一个要注意的点，如果是有向图，那么只要处理一次就够了。对于一个无向图的话，就需要来回存一次，对于无向图的具体存法可以看文末给出的题目和相关代码。
对于weight：
很明显这个就是用来存边的权重的一个变量，这里不再多讨论。
然后，我们还需要一个head数组，这个head数组和next是这个链式存储结构的关键所在！
那么这个head数组用来存什么呢？对于你输入的边，用来存以i为起点的边的存储位置。那么如果以i为起点的边出度大于1怎么办？此时head[i]会存入在输入中最后输入的以i为起点的编号。比如说对于结点1，它的出度为3，由先往后分别输入了（1， 2）（1， 3）（1， 5），最后存入head的就会是5（2和3其实也有被存储的时候，但是后来会被5覆盖掉），即结果就是head[1] = 5。
对于输入的边的存储方式如下：
void Build(int u, int v, int w){
Edge[k].to = v;
Edge[k].weight = w;
Edge[k].next = head[u];
head[u] = k++;
}
这个读入的过程同样推荐用笔算一次，可以很好的帮助理解。这里提一下关于head[u]的问题，以以1为起点的边为例子，第一次读入（1，2）的时候，很明显，head[u] = -1的，即head[1] = -1。那么下面的head[u]又是干什么的呢？还是以“以1为起点的边”作为例子，（1， 2）的时候，head[1] = -1；然后在“head[u] = k++”这一行把这个值记录下来，简单来说就是u这个值在第几组输入的边里出现过，放到这个例子里就是head[1] = 0;而后，读入（1，3）（1，5）的时候， head[1]的值会再次被刷新，最后得出的head[1] = 5。
样例数据：
edge[0].to = 2; edge[0].next = -1; head[1] = 0;
edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1;
edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2;
edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3;
edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4;
edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5;
edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6;
那么它是怎么进行遍历的呢？这里我们以Luogu2420作为例子：
void solve(int num){
for(int i = head[num]; i != -1; i = Edge[i].next)
if(!visit[Edge[i].start])
{
visit[Edge[i].start] = true;
dis[Edge[i].start] = dis[num]^Edge[i].weight;
solve(Edge[i].start);
}
}
主要分两块，一块就是循环体，一块是递归体。
转回上文中有向图的实例，循环的主要作用就是对拥有同一起点的边进行跳转（比如说从（1，5）转到（1， 3）再转到（1， 2），就是我前文所写的next的作用，相当于一个静态的链表），而递归体主要就是DFS（比如说从（1， 3）到（3， 4）再到（4， 5）再到（4， 1），这里同样推荐用笔写一写，会清晰很多）。这样子我们就成功使用链式前向星来存下了一个图，并能够对它进行遍历。
然后也有一道不错的题可以用链式前向星来做，比如上文提到的Luogu2420（其实我就是因为这道题才知道这个的...），可以去做一下，代码放在另一篇博文里，这里就不多提及了。
参考资料：
https://blog.csdn.net/m0_37389559/article/details/75200652
https://malash.me/200910/linked-forward-star/
题目链接：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2420
代码链接：