Description
传送门
简述题意：给一个序列，询问有多少子序列满足其中不会出现(achoose b)是偶数的情况，其中(a)在(b)前面。
Solution
首先探究组合数的奇偶性问题。我们用Lucas定理展开组合数，可以发现一些有趣的性质：
[{achoose b}={lfloorfrac a 2
floorchoose lfloor frac b2
floor}{amod2 choose bmod 2}
]
后一个括号的值可以直接算：({0choose 0}={1choose 0}={1choose 1}=1,;;{0choose 1}=0)。这相当于(a)和(b)的二进制最末位的某种计算。
而想象一下第一个括号递归计算的过程，实际上是移除了(a)和(b)的二进制最后一位继续计算。到底层时，其值必定是1。
所以决定总体奇偶的地方在于第二个括号会不会取0。也就是会不会出现(a)末位为0，(b)末位为1的情况。
这整一个过程的实质是什么？相当于比较(a)和(b)的每一位对应二进制。一旦出现(a)某一位为0，(b)对应位为1，则整体为偶数。否则整体为奇数。
再进一步考虑，这种条件，相当于判断(b)的1位集合是否是(a)的1位集合的子集，则整体奇数，否则整体偶数。
有趣的是，这种关系具有传递性：如果(a)包含(b)，那么(a)包含以(b)开头的合法子序列的每个元素。问题变得非常简单，只需要考虑从哪一个子序列的开头转移：设(f[a])表示以(a)为开头的子序列个数。枚举(a)的子集(b)，如果(b)在(a)后面，则(f[a]+=f[b])。
总时间复杂度为(mathcal O(3^{log_2n}))。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=211990,S=233335,MOD=1e9+7;
int n,a[N],p[S],f[S];
inline int plu(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline void upd(int &x,int y){x=plu(x,y);}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
int ans=-n;
for(int i=n;i>=1;i--){
f[a[i]]=1;
for(int j=(a[i]-1)&a[i];j;j=(j-1)&a[i])
upd(f[a[i]],f[j]);
upd(ans,f[a[i]]);
}
printf("%d
",plu(ans,MOD));
return 0;
}