BZOJ 3450

描述

某一天 WJMZBMR 在打 osu~~~ 但是他太弱逼了，有些地方完全靠运气:(
我们来简化一下这个游戏的规则：
有 (n(nle 300000)) 次点击要做，成功了就是 o，失败了就是 x，分数是按 comb 计算的，连续 (a) 个 comb 就有 (a^2) 分，comb 就是极大的连续 o。
比如 ooxxxxooooxxx，分数就是 (2 imes 2+4 imes 4=4+16=20)。
Sevenkplus 闲的慌就看他打了一盘，有些地方跟运气无关要么是 o 要么是 x，有些地方 o 或者 x 各有 (50\%) 的可能性，用 ? 号来表示。
那么 WJMZBMR 这场 osu 的期望得分是多少呢？

思路：

这个题如果一段一段的处理，实际上并不是很好做。我们观察到 ((x + 1) ^ 2 - x ^ 2 = 2x + 1)，那么根据期望的线性性质，我们可以单独算每一个字符的贡献。我们设 (dp_i) 为考虑前 ii 个字符的期望得分，(l_i) 为以 (i) 为结尾的 comb 的期望长度，(Comb_i) 为第 (i)个字符，那么有 3 种情况：

1. (s_i = o) ，则 (dp_i = dp_{i - 1} + l_{i - 1} * 2 + 1,l_i = l_{i - 1} + 1)
2. (s_i = x) ，则 (dp_i = dp_{i - 1})
3. (s_i = ?)， 则 (dP_i = dp_{i - 1} + frac{l_i*2 + 1}{2},l_i = frac{l_{i - 1} + 1}{2})

对于前两种情况，其实是非常直观的，对于第三种情况，实际上是求了一个平均长度。例如 ?oo，两种情况的长度 (l_i) 分别为 ([0,1,2]) 和 ([1,2,3]) ，但是求了平均之后，长度 (l_i) 变成了 ([0.5,1.5,2.5]) ，这样由于我们的贡献是一个关于长度的一次多项式 ((2x + 1)) ，所以长度平均之后，贡献也相当于求了一个平均，自然能够求得正确的得分期望。

【AC Code】

const int N = 3e5 + 10;
double dp[N], Comb[N];
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    int n; string s;
    cin >> n >> s;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (s[i] == 'o') {
            dp[i] = dp[i - 1] + Comb[i - 1] * 2 + 1;
            Comb[i] = Comb[i - 1] + 1;
        } else if (s[i] == 'x') {
            dp[i] = dp[i - 1];
            Comb[i] = 0;
        } else {
            dp[i] = dp[i - 1] + (Comb[i - 1] * 2 + 1) / 2;
            Comb[i] = (Comb[i - 1] + 1) / 2;
        }
    }
    cout << setprecision(4) << fixed << dp[n - 1];
}

思考：如果长度为 (a) 的 comb 的贡献为 (a^3) 时该如何解决？题目链接：Here

Tips：由于 ((a + 1)^3 - a^3 = 3a^3 + 3a + 1) ，所以我们要维护 (a^2) 和 (a) 的期望，注意 (E_{a^2} ot= E^2_a)，所以维护 (a^2) 的期望是必要的。