乘法逆元整理

乘法逆元

1.费马小定理

如果 $ a,p $ 互质，那么 $ a^{p-1} ≡ 1(mod p) $
又由逆元方程知 $ a*x ≡ 1 (mod p) $ ，得到 $ ax ≡ a^{p-1}(mod p) $
所以逆元 $ x $ 为 $ a^{p - 2} mod p $，快速幂求解即可。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    
    using namespace std;
    
    #define LL long long
    
    LL n,p;
    
    inline LL fast_pow(LL a,LL b,LL p) {
    	LL ans = 1;
    	a %= p;
    	while(b) {
    		if(b&1) ans = ans * a % p;
    		a = a * a % p;
    		b >>= 1;
    	}
    	ans %= p;
    	return ans;
    }
    
    int main() {
    	scanf("%lld%lld",&n,&p);
    	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) 
    		printf("%lld 
",fast_pow(i,p-2,p));
    	return 0;
    }

2.线性求逆元

这个不会证。
不过不会证问题也不大，可以直接当一个结论用。
$ inv[i] = p - frac{p}{i} * inv[p % i] % p$
不过要注意 $ inv[1] = 1,inv[0] = tan90^o = 0 ( ) for $ 循环从2开始，时间复杂度 $ O(n) $ 。

  
  using namespace std;
  
  #define LL long long
  const int N = 3e6 + 10;
  
  LL n,p,inv[N];
  
  int main() {
  	scanf("%lld%lld",&n,&p);
  	inv[1] = 1;inv[0] = 0;
  	for(int i = 2; i <= n ; i++) 
  		inv[i] = p - (p / i) * inv[p % i] % p;
  	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
  		printf("%lld 
",inv[i]);
  	return 0;
  }